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数列教えてください!
数列 1/2、4+6/2、8+10+12/3、14+16+18+20/4、・・・・・ について、 (1)第n項の分子の最初の数をnで表しなさい。 (答え:n^2-n+2) 解説を読んでも、答えにいきつくまでの手順がよくわかりませんでした。 解答のほうよろしくおねがいします。
- pink-fairy
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そのままだと問題の意味が通じないのですが, たぶん問題の数列は 2/1, (4+6)/2, (8+10+12)/3,... という意味なのでしょう. という前提で回答いたしますと, 2, 4, 8, 14, 22,... という数列の一般項 (a_nとしましょう) が分かればいいわけですね. 隣りの項との差 a_{n+1} - a_n を見ると(b_n としましょう) 2, 4, 6, 8,... という等差数列です.この一般項は簡単で b_n = 2n 同じことですが b_{n-1} = 2(n-1) ですね. あとはこれらの和を取ればいいのです. なぜなら b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1} = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) +・・・+ (a_n - a_{n-1}) ←b_n の決め方より = a_n - a_1 ← +,- が隣同士打ち消しあうので だからです. 実際,等差数列の和の公式より b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1} = {2 + 2(n-1)} * (n-1) / 2 = n^2 - n です. a_n はこれに a_1 を足したものですから,答えが出ました. 数列(というより数学はなんでも)でよく分からないことがあったら, 考えるより先に,n=1,2,3,4,5,6 ぐらいを実際代入して実験する ことが極めてきわめて有効です(解答を読むときも). たくさん実験するうちに,感覚が身についてきて, (意識して)考えなくても分かるようになりますから. 鉄棒の逆上がりとか楽器の演奏とか外国語の習得と同じですね.
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- eatern27
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2/1、(4+6)/2、(8+10+12)/3、(14+16+18+20)/4、・・・・・ の分子の最初の項を求めるのに分母と"+"の記号は必要ないのは分かりますか? 必要ないので分母と"+"を取り除いてみます。すると、 2|4、6|8、10、12|14、16、18、20|・・・・ と、なるんですが、第n群(|と|で区切られてるのが1つの群です)の最初の項を求めれば、それが答えになります。2ずつ増えていると、面倒なので、それぞれの項を2で割ると 1|2、3|4、5、6|7、8、9、10|・・・・ と、なります。これの第n群の最初の項を2倍すればそれが答えになります。 第n群の最初の項=第n-1群の最後の項+1 という式が成り立つのはOKですか? だから、第n-1群の最後の項を求めてそれに1を足したものを2倍すれば答えになります。 ここで,第n群の項数はn個であるのは分かりますか? 第1群の最後の項=第1群の項数=1 第2群の最後の項=第1群の最後の項+第2群の項数=1+2=3 第3群の最後の項=第2群の最後の項+第3群の項数=1+2+3=6 というのを考えれば 第n-1群の最後の項=第n-2群の最後の項+第n-1群の項数=1+2+・・・+(nー1)=Σ{k=1 to n-1] k であるから、 第n-1群の最後の項=(n-1)n/2 となります。 だから、答えは(n-1)n/2に1を足して2をかけた {(n-1)n/2+1}*2=n^2-n+2 となります。
- mmky
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参考まで 分子、分母という見方で、 n=1:(1)/2 n=2:(4)+6/2 n=3:(8)+10+12/3 n=4:(14)+16+18+20/4 n=5:(22)+24+26+28+30/5 n=6:(32)+34+36+38+40+42/6 ・・・・ n=n:(n^2-n+2){n^2-n+4}{n^2-n+6}・・・・{n^2-n+2n}/n 分母の数に一つ前の分母の数を掛けて2を足したものが最初の数 n*(n-1)+2=(n^2-n+2) になりますね。
- rousei
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それぞれ項が1つ増えるごとに足す要素が1つずつ増えていますよね? 1/2 これは2/1 の間違いでは??? すると 2/1 は 1つ (4+6)/2 は 2つ (8+10+12)は 3つ すると、第n項めは分子はn個の要素をたしていることになります。 ここで第1項目から第n-1項目までの要素の総数は 1+2+3+・・・+(n-1)=1/2 ×n(n-1) となりますね? そうすると第n項目の最初の要素は、 1/2 ×n(n-1) + 1 番目の要素になるわけです。 そうすれば 要素は2倍ずつ増えていくのですからk番目の要素は2kとあらわせます。 なので 2{1/2 ×n(n-1) + 1}=n(n-1)+2 =n^2-n+2 となるわけです。
- eatern27
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補足をお願いします。 数列の第1項は 2/1 ではないですか? それから、2~4項は 第2項が (4+6)/2 第3項が (8+10+12)/3 第4項が (14+16+18+20)/4 という意味ですか?
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