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数列教えてください!

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お礼率 10% (5/48)

 数列 1/2、4+6/2、8+10+12/3、14+16+18+20/4、・・・・・
について、
 (1)第n項の分子の最初の数をnで表しなさい。
            (答え:n^2-n+2)
  解説を読んでも、答えにいきつくまでの手順がよくわかりませんでした。
解答のほうよろしくおねがいします。 
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル7

ベストアンサー率 45% (9/20)

そのままだと問題の意味が通じないのですが,
たぶん問題の数列は

2/1, (4+6)/2, (8+10+12)/3,...

という意味なのでしょう.

という前提で回答いたしますと,

2, 4, 8, 14, 22,...

という数列の一般項 (a_nとしましょう) が分かればいいわけですね.

隣りの項との差 a_{n+1} - a_n を見ると(b_n としましょう)

2, 4, 6, 8,...

という等差数列です.この一般項は簡単で

b_n = 2n 同じことですが b_{n-1} = 2(n-1)

ですね.

あとはこれらの和を取ればいいのです.
なぜなら

b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1}

= (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) +・・・+ (a_n - a_{n-1})  ←b_n の決め方より

= a_n - a_1                       ← +,- が隣同士打ち消しあうので

だからです.

実際,等差数列の和の公式より

b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1}

= {2 + 2(n-1)} * (n-1) / 2

= n^2 - n

です.
a_n はこれに a_1 を足したものですから,答えが出ました.

数列(というより数学はなんでも)でよく分からないことがあったら,
考えるより先に,n=1,2,3,4,5,6
ぐらいを実際代入して実験する
ことが極めてきわめて有効です(解答を読むときも).
たくさん実験するうちに,感覚が身についてきて,
(意識して)考えなくても分かるようになりますから.
鉄棒の逆上がりとか楽器の演奏とか外国語の習得と同じですね.

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 55% (635/1135)

2/1、(4+6)/2、(8+10+12)/3、(14+16+18+20)/4、・・・・・
の分子の最初の項を求めるのに分母と"+"の記号は必要ないのは分かりますか?
必要ないので分母と"+"を取り除いてみます。すると、

2|4、6|8、10、12|14、16、18、20|・・・・

と、なるんですが、第n群(|と|で区切られてるのが1つの群です)の最初の項を求めれば、それが答えになります。2ずつ増えていると、面倒なので、それぞれの項を2で割ると

1|2、3|4、5、6|7、8、9、10|・・・・

と、なります。これの第n群の最初の項を2倍すればそれが答えになります。
第n群の最初の項=第n-1群の最後の項+1
という式が成り立つのはOKですか?
だから、第n-1群の最後の項を求めてそれに1を足したものを2倍すれば答えになります。
ここで,第n群の項数はn個であるのは分かりますか?
第1群の最後の項=第1群の項数=1
第2群の最後の項=第1群の最後の項+第2群の項数=1+2=3
第3群の最後の項=第2群の最後の項+第3群の項数=1+2+3=6
というのを考えれば
第n-1群の最後の項=第n-2群の最後の項+第n-1群の項数=1+2+・・・+(nー1)=Σ{k=1 to n-1] k
であるから、
第n-1群の最後の項=(n-1)n/2
となります。
だから、答えは(n-1)n/2に1を足して2をかけた
{(n-1)n/2+1}*2=n^2-n+2
となります。
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 28% (681/2419)

参考まで
分子、分母という見方で、
n=1:(1)/2
n=2:(4)+6/2
n=3:(8)+10+12/3
n=4:(14)+16+18+20/4
n=5:(22)+24+26+28+30/5
n=6:(32)+34+36+38+40+42/6
・・・・
n=n:(n^2-n+2){n^2-n+4}{n^2-n+6}・・・・{n^2-n+2n}/n

分母の数に一つ前の分母の数を掛けて2を足したものが最初の数
n*(n-1)+2=(n^2-n+2)
になりますね。
  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 55% (635/1135)

補足をお願いします。
数列の第1項は
2/1
ではないですか?

それから、2~4項は
第2項が (4+6)/2
第3項が (8+10+12)/3
第4項が (14+16+18+20)/4
という意味ですか?
補足コメント
pink-fairy

お礼率 10% (5/48)

おっしゃるとおりです。
問題の打ち間違いでした。すみません・・・。
投稿日時 - 2003-02-02 19:59:24
  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 42% (9/21)

それぞれ項が1つ増えるごとに足す要素が1つずつ増えていますよね?

1/2 これは2/1 の間違いでは???
すると
2/1      は 1つ
(4+6)/2  は 2つ
(8+10+12)は 3つ

すると、第n項めは分子はn個の要素をたしていることになります。
ここで第1項目から第n-1項目までの要素の総数は

1+2+3+・・・+(n-1)=1/2 ×n(n-1)

となりますね?
そうすると第n項目の最初の要素は、
1/2 ×n(n-1)  + 1 番目の要素になるわけです。
そうすれば

要素は2倍ずつ増えていくのですからk番目の要素は2kとあらわせます。

なので
2{1/2 ×n(n-1) + 1}=n(n-1)+2
=n^2-n+2
となるわけです。
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