循環小数を既約分数で表す問題について疑問点が…。

質問

循環小数を既約分数で表す問題
例えば0.3…の場合
0.3…＝xとおいて
両辺に10をかけて

3＋0.3…＝10x　3＋x＝10x　x=3/9=1/3

このような問題がよくありますが、0.3…に10をかけて3＋0.3…にするのって許されるのでしょうか。
例えば10πを31＋0.41592…みたいなことって数学的に絶対しませんよね。

上記の式も10×0.3…とするべきだと思うんですけど、どう思われますか？

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>例えば10πを31＋0.41592…みたいなことって数学的に絶対しませんよね。
>上記の式も10×0.3…とするべきだと思うんですけど、

πは循環小数 (有理数) じゃないので、「数学的に絶対しません」… というか、できません。

循環小数ならば、有限桁の数 (n 桁) ***** の繰り返しゆえ、
　1 + (1/10)^n + (1/10)^2n + (1/10)^3n + …
を掛けたもので表せて、
　1 - (1/10)^n
を掛けた値に収束。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

回答No.5

gamma1854

もちろんそのようなことはしません。
x[n]=Σ[k=1~n]3*(1/10)^k
=(3/10)*{1 - (1/10)^n}/{1 - 1/10}
=(1/3)*{1 - (1/10)^n}....(等比数列の和)
ですから、和の数列{x[n]}について、
lim[n→∞]x[n]=1/3.
というふうに証明します。
-----------------

回答No.4

muturajcp

x=Σ_{n=1～∞}a(n)
とすると
x
=Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}3/10^n
=0.3…

x=Σ_{n=1～∞}3/10^n
↓両辺に10をかけると
10x=Σ_{n=1～∞}3/10^(n-1)
10x=Σ_{k=0～∞}3/10^k
10x=3+Σ_{k=1～∞}3/10^k
10x=3+Σ_{n=1～∞}3/10^n
↓x=Σ_{n=1～∞}3/10^nだから
10x=3+x
↓両辺からxを引くと
9x=3
↓両辺を9で割ると
x=1/3

0.3…=Σ_{n=1～∞}3/10^n

とはできるけれども

πは無理数だから小数は循環しないので循環小数で表すことができないので

π=Σ_{n=1～∞}a/10^(n+m)

となるような定数a/10^mは存在しません

回答No.3

alterd

その方法はそもそも
X=0.333・・・の両辺を１０倍し
10X=3.333・・・にして
その、10X=3.333・・・から
　　　　X=0.333・・・を引いて
　　　 9X=3　にし X= 3／9 = 1／3 に持って行くのだと思いますが。

回答No.2

asuncion

ですからね、
x = 0.333 ....
としたとき、
10x = 3.333 ....
と書けるし、
10x = 3 + 0.333 ....
とも書けるんですけど。

回答No.1

asuncion

＞3＋0.3…＝10x
＞10×0.3…

同じ意味なんですけど。

補足

いや、3が限りなく続いてるわけです。どこかで途切れてること前提の操作ですよね。3＋0.33333って