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ネットで拾ったマクロリーン展開の問題です。
f272の回答
問19の前にcosではなくてsinでの説明があるようです。それとほとんど同じようにすればいいのですが... f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2!)x^2+...+(f^(n)(0)/n!)x^n+(f^(n+1)(θx)/(n+1)!)x^(n+1) ただし0<θ<1 を既知とすれば，上式の f(x)をcosxに nを2mあるいは2m+1に すれば問19の式になります。cos(x)のn回微分はcos(x+nπ/2)に等しいことに注意してください。
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「θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。 lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている のだから、値を近似することには意味がない。 でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか を考えることには意味がありますね。 そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか 最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。 lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。 ローラン展開が -2 次以下の項を持つ場合にも、 a(-1) の値を知ることが重要な場面はあります。 それが、あなたが以前に繰り返し質問していた留数としてです。 留数には留数の使い道がありますが、 留数を求めることは近似ではありません。」 以下は3つの質問です。 ⑦ >>θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。 近似式を作る事と近似値を求める事は違うという事でしょうか？ ⑧ >> でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか を考えることには意味がありますね。 そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか 最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。 lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。 との事ですが、 lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mはどこから出て来たのでしょうか？ 出来ればlim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mがどうやって作ったのか導くまでを教えてほしいです。 ⑨ また、留数(項の係数)を求める式は lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)だったはずですが、 2022.11.11 18:40の文章を読むと lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mで留数を求めるように書かれている気がします。 lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mは何を求めるための式なのでしょうか？ 最後に「lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている のだから、値を近似することには意味がない。 でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか を考えることには意味がありますね。」 また、お手数ですが、「2022 11.11 09:45に投稿した質問」した質問がどこにあるか、どけにかるかわかりたすか？
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お礼
ありがとうございました。なかなか回答がつかないのであきらめていました。