次の式の展開の過程を教えて下さい

質問

次の式の展開の過程を教えて下さい

回答No.3

178-tall

いわゆる「部分分数展開」。
A, B を未知数とし、
　1/{ (2n-1)(2n+1) } = { A/(2n-1) } + { B/(2n+1) }　　…(1)
と分母の因数ごとの和だとする。

まず、(1) の両辺に (2n-1) を掛け、
　1/(2n+1) = A + { B(2n-1)/(2n+1) }
として、n = 1/2 を代入すれば、
　1/2 = A
を得る。

同様に、(1) の両辺に (2n+1) を掛け、n = -1/2 を代入して、
　-1/2 = B
を得る。

(念のため、検算でも…)
　[ 1/{ 2*(2n-1) } ] - [ 1/{ 2*(2n+1) } ]
　= (1/2)* (2n+1-2n+1)/{ (2n-1)(2n+1) }
　= 1/{ (2n-1)(2n+1) }

回答No.2

asuncion

右辺を通分して計算すると左辺になるので、
左辺から右辺への変形が成り立つ。

回答No.1

deshabari-haijo

このような問題では、解法が決まっています。

左辺=a/(2n-1)+b/(2n+1)（aとbは定数）とおいて通分すると、
a/(2n-1)+b/(2n+1)
={a(2n+1)+b(2n-1)}/(2n-1)(2n+1)
={2n(a+b)+(a-b)}/(2n-1)(2n+1)
この分子を左辺の分子と比較すると、
nの項はないから、a+b=0－(1)
定数項は1であるから、a-b=1－(2)
式(1)と(2)から、
a=1/2、b=-1/2
よって、
左辺=1/2×{1/(2n-1)-1/(2n+1)}