数学の解答と解説について

質問

もう大人ですが、大の苦手な数学をいまもう一度勉強しています。
持っている過去問が答えしかない為、理解ができません。
問題数が多いですが、なぜそうなるのかという解説をお願いします。
ではさっそく、
(1)　長さ150m、時速54kmで走る列車が、あるトンネルに入り始めてから完全に出るまでに70秒かかった。このトンネルの長さを求めなさい。

(2)コインを３回投げて、２回が表、１回が裏の出る確率を求めなさい。

(3)５％の食塩水540gに食塩水を入れたら、10%の食塩水ができた。加えた食塩の量を求めよ。

(4)半径10cm、弧の長さ6πcmのおうぎ形の中心角を求めよ。ただし円周率はπとする。

(5)みかん３個とりんご４個買い、合計で１５０円だった。同じみかん９個とりんご１０個を贈答用の箱に入れてもらうと、箱の代金１５０円ｗ含めて1500円だった。みかん１個の値段は？

(6)　3/4÷(-3/8)+4/7 は？

(7)a=1/3のとき、7(a+2)\aの値を求めなさい

【答え】
❶900m ❷3/8 ❸30g ❹108 ❺50円 ❻-10/7 ❼16

解説をよろしくお願いいたします。

回答No.11

xr7zk2001

回答 No.8,9,10 です。
まず、回答 No.10 の冒頭「5番」 は「4番」のまちがいでした。ごめんなさい。
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さて、5番なのですが・・・

問題の「転記ミス」ではありませんか？

解答のとおり「みかん1個が50円」だと問題に合わないのですが。

回答No.10

xr7zk2001

回答 No.8,9 です。
5番に行きましょう。

まず、基本を押さえましょう。
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・円周率＝円周 / 円の「直径」
（「円周　わる　直径」または「直径　ぶんの　円周」）　です。

　　　　※円周 / 円の「半径」　では　あ・り・ま・せ・ん！！

ご承知でしょうがおさらいです。

・円周率は「π（パイ）」
・半径は「r（アール）」　という記号で表されます。
では「直径」は？　そう、半径の二倍ですから
　　「２π（にパイ）」ですね。
では「円周」は？　そう、それに円周率をかけたものですから
　　「２π × r」、すなわち「２πr（にパイアール）」と表します。

また、
・直径 × 円周率 = 円周　です。
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続いておさらいです。
・「弧（こ）」とは　円周の一部　であり

・円の中心角は360度
・半円の中心角は180度　ですよね。

感覚的にもつかめると思いますが、

中心角Ｘ度の「扇形の弧」の長さは、
　その扇形と半径が等しい円の
・円周×（Ｘ / 360）
で求められます。
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では等式をつくりましょう。

弧の長さ（円周の一部）の問題ですから、
・ｒ（半径）ではなく２r（直径）　がもとになります。

式に表しましょう。中心角をＸ度とします。

設問より、
10×2×π（←ここまでが円周）× X / 360 = 6π　整理して、
　　　　　　　　　　　　　 　Ｘπ/18 = 6π　両辺に18をかけ、πで割ると
　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ = 108

答え：108度
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本問には無関係ですが、

・円周上の2点をつなぐ線分を「弦（げん）」といいます。また、

・円の面積＝半径×半径×円周率　です。
　 r × r × π　なので、πr²「パイアールじじょう」と書き（言い）ますね。

いろいろと、思い出してがんばりましょう。

次は、球の
・表面積　や
・体積
の求め方　なども思い出しましょう。
かく言う私は忘れてしまいました（笑）。

回答No.9

xr7zk2001

回答 No.8 です。
3番に行きましょう。
※まず、設問の転記ミスがありますね？
「５％の食塩水540gに食塩（水）を入れたら、10%の食塩水ができた。加えた食塩の量を求めよ。」
※上記（　）内の「水」があると問題が解けません（笑）。なので、「Ｘグラムの食塩を入れたとして」考えますよ。
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それにしても「濃度」の問題もアタマが痛くなりますね（笑）
ワタシもニガテでした。
でも、基本はカンタンです。
ネットでは分数の表記が難しいので、/ を使います。
・X / Y で「ワイ　ぶんの　エックス」だと思ってください。
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さて、食塩水を例にとりますと、次が基本です。これは覚えてください。
これを理解していないと等式がつくれません！！！いいですか？
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食塩水の濃度＝　含まれる食塩の量 / 食塩水（＝食塩+水）の量　です！
　　　　　　　　含まれる食塩の量 / 水の量　では　あ・り・ま・せ・ん！！
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念のため、濃度の単位である「パーセント」は、上記に「１００をかけた値」です。
言い換えれば、「30パーセント」＝「100分の30」＝「0.3」ということです。
大事なのでもういちど言います。
・Ｘグラムの食塩　を
・Ｙグラムの水　に溶かしてできた食塩水の濃度は、あくまで
　Ｘ / （Ｘ+Ｙ） [エックス+ワイ　ぶんの　エックス]（×100）パーセント、です。

　Ｘ / Ｙ [ワイ　ぶんの　エックス]（×100）パーセント、では　あ・り・ま・せ・ん！！
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では式をつくりましょう。
「なにと　なにが　等しいか」を考えましょう。そうです。

「まぜる前の食塩水（食塩水Ａとする）に含まれる食塩の量（aグラム）」
プラス
「後入れした食塩の量（Ｘグラム）」
イコール
「まぜてできあがった食塩水（食塩水Bとする）に含まれる食塩の量（bグラム）」
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次に、上記（a）と（b）をそれぞれ式で表してみましょう。
さきほど書いたことを思い出してください。
・食塩の量＝食塩水の量×濃度　です！！
　　　　　　水の量×濃度、では　あ・り・ま・せ・ん！
また、
・5パーセント＝5 / 100 = 1 / 20 = 0.05
・10パーセント＝10 / 100 = 1 / 10 = 0.1 です。
したがって、Ｘグラムの食塩を入れたとすると
（a）：　540 × 0.05（＝27グラム：これは単純でしょう？）
（b）：（540 + X）× 0.1（グラム：追加した食塩の量だけ食塩水も増えますから。）
　　と表せますね。中学以上では　0.1（540＋Ｘ）と書きますよね。

そして、（a）にＸを加えたものが（b）と等しい　わけですから、
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・27 + Ｘ = 0.1（540 + Ｘ）
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という方程式が成り立ちます。

右辺（うへん：等号の右側）の　0.1 がうっとうしいので、
両辺に10をかけて単純にしましょう。
・270 + 10Ｘ= 540 ＋Ｘ　、これでかっこがはずれました。
移項して
　10Ｘ－Ｘ＝540－270
　　　 9Ｘ＝270
　　　 Ｘ＝30

答え：30グラムの食塩を加えた。
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カギは、
・食塩水の濃度とは？？
です！！！

回答No.8

xr7zk2001

えっとですね・・・
すでに回答が多数寄せられていますし、問題数も多いので（笑）

私は「方程式」についてだけ書かせていただきます。

ご質問にある７問はすべて中学生の数学レベルです。
むろん、小学算数の知識でも「答えを出す」ことはできるでしょう。
でも、せっかくの中学レベル問題ですから、中学数学での解き方のほうが却ってやさしいですよ。
なので、x や y やらを使って説明しますね。

さて、７問中５問（1, 3, 4, 5）は
・「方程式」をつくって
・それを「解く」
という手順で「解（いわゆる答え）」を求めていきます。

大切なのは「解く」ことよりも、方程式を「つくる」ことです。
方程式というと難しそうですが、言い換えれば、
・「文字を使った等式」
です。つまり、問題を読み
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・「なにと　なにが　等しいか：イコールの関係になるのか」
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を考え、「＝（等号）」でつないだ式で表せばできあがりです。
解くことは考えない。
・正しい式をつくる＝等しい関係を数式で表すこと
これができれば９９パーセント完了です。
そして、
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・求めるものを x（エックス）とする
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さて、習うより慣れろ、ということで、まず１番からいきましょう！

問題を読めば
・速度（速さ）
・距離
の問題ですよね。とくれば、
・時間
を含めた３者の問題です。
この３者の関係は？これはわかりますね？
（距離）＝（速度）×（時間）
（速度）＝（距離）/（時間）
（時間）＝（距離）/（速度）　の関係にありますよね。
※「　/　」は「（前）わる（後）」と読んでも「（後）ぶんの（前）」と読んでもいいです。
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ただ、問題に登場する数量のままではちょっと式がつくりにくそうです。
そう、「単位」がバラバラですね。まずこれを統一しておきましょう。
料理でいえば「下ごしらえ」のようなものです。
・150m
・時速54km
・70秒
なので、距離は「メートル」、時間は「秒」、速度は「メートル/秒」、にそろえましょう。
ならば「キロメートル/時」を変換するだけで済みます。
１時間＝６０分＝３６００秒です。
１キロメートル＝１０００メートル、ですね。よって
・時速54km＝時速54000メートル＝（3600で割って）秒速15メートル、となります。
これで単位がそろいましたよ！
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では式を考えましょう。
「なにとなにが等しい（くなる）」でしょうか。
上記の
（距離）＝（速度）×（時間）が使えそうです。

問題は、わざわざ
「トンネルに入り始めてから完全に出るまで」とあるところですよね。
・列車の先頭がトンネルに入り、最後尾がトンネルから出るまで
ってことです。だとすると、その間、列車はどれだけの距離を走ることになりますか？
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・トンネルの長さだけ進むのでは、列車はトンネルの中に消えたまま！
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そう、
・（トンネルの長さ＝）＋（列車の長さ）
を移動して初めて、完全にトンネルから出ることができます。

では、等式をつくりましょう。
（距離）＝（速度）×（時間）にあてはめれば完成です。
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※トンネルの長さを x メートルとする。
（ x + 150）＝ 15 × 70

もう答えは出ましたね。

回答No.7

asuncion

(5)はりんごを消去する方が手っ取り早いですね。
みかん3個 + りんご4個 = 510 ... (1)
みかん9個 + りんご10個 = 1350 ... (2)

(1) * 5より、みかん15個 + りんご20個 = 2550 ... (1)'
(2) * 2より、みかん18個 + りんご20個 = 2700 ... (2)'
(2)' - (1)'より、みかん3個 = 150, みかん1個 = 50円

回答No.6

asuncion

(5)
みかん3個 + りんご4個 = 510 ... (1)
みかん9個 + りんご10個 + 150 = 1500 ... (2)

(2)より、みかん9個 + りんご10個 = 1350 ... (2)'
(1) * 3より、みかん9個 + りんご12個 = 1530 ... (1)'
(1)' - (2)'より、りんご2個 = 180, りんご1個 = 90円
(1)に代入して、みかん3個 + 360 = 510
みかん3個 = 150, みかん1個 = 50円

(7)
7(a + 2) - a = 7a + 14 - a = 6a + 14
a = 1/3を代入して、2 + 14 = 16

回答No.5

Mathmi

(7)
多分\と-の打ち間違いだと思われるので。
与式=7*{(1/3)+2}-(1/3)
　=7*(7/3)-(1/3)
　=(7*7-1)/3
　=48/3
　=16

回答No.4

asuncion

(1)
時速54km = 時速54000m = 秒速15m
この速度で70秒間走る道のりは、15 * 70 = 1050m
この道のりは列車の長さとトンネルの長さの和に等しいから、
トンネルの長さは1050 - 150 = 900m
(2)
コインを3回投げるときの表・裏の出方を下記に記す（表をH, 裏をTとする）。
これはいずれも同様に確からしい。
TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH
表が2回で裏が1回であるのはTHH, HTH, HHTの3とおり。
よって求める確率は3/8
(3)
5%の食塩水540gに含まれる食塩は540 * 5 / 100 = 27g
したがって水は540 - 27 = 513g
食塩を加えた結果10%になるということは、水が90%になるということである。
よって10%の食塩水の量は513 / 0.9 = 570g
したがって加えた食塩の量は570 - 540 = 30g
(4)
直径20cmのおうぎ形の弧の長さが6πであるから、中心角をα°とすると
20 * π * α / 360 = 6πよりα = 108°
(5)
解答にはミカン1個50円と書いてあるとのことですが、
＞みかん３個とりんご４個買い、合計で１５０円だった。
もしこうだとするとリンゴは0円になってしまいますので回答不能です。
(6)
(3/4) * (-8/3) + 4/7 = -2 + 4/7 = -14/7 + 4/7 = -10/7
(7)
\
という謎の記号があるので回答不能です。

補足

大変ご丁寧な回答をありがとうございます。すごく嬉しいです。
問題文の入力ミスがありましたこと、大変申し訳ございませんでした。
正しくは　「みかん3個とりんご4個を買い、合計で510円だった。」です。
また最後の問題は　a=1/3のとき、7(a+2)-a　です。

お手数ですが、再度解答・解説をいただけますと幸いです。

回答No.3

okwavey2

なるほど。確かに数学が苦手そうですね。

数学よりも論理的思考が大切だと思います。

>もう大人ですが、大の苦手な数学をいまもう一度勉強しています。

数学が苦手だと理解しているのだから

>持っている過去問が答えしかない為、理解ができません。

この過去問で勉強しようとしたのがそもそもの間違いです。

答えしかなところが問題だとわかっているので、解説つきの解答のある問題を買えば良いとわかりますね。

この考え方が出来なければ、数学が出来るようにはならないと思います。

また、全ての問題は算数の範囲で解けるものだと思います。

回答No.2

alain13juillet

これって、生きてく上で最低限できなければならないほどの問題です。数学ではなく、算数です。もっと易しい解説書付きの本で勉強してはいかがでしょうか？
基本は、単位を統一して単位毎のかけ算割り算（微分積分）することです。