三角形の内角

質問

一般的な三角形の三辺の長さ　a b cが既知の時
それぞれの対角Ａ　Ｂ　Ｃの求め方を教えてください。

回答No.8

arukamun · ベストアンサー

No.7です。

No.7の回答は逆三角関数を使う以前にヘロンの公式で√計算して無理数を出してしまうので、誤差が大きくなってしまう事や、特定の辺の長さで正しくない答えを出してしまうようです。

ですので誤差の少ない余弦定理を使った方法をお勧めします。

arccos((b^2+c^2-a^2)/(2bc)) = A
arccos((c^2+a^2-b^2)/(2ca)) = B
arccos((a^2+b^2-c^2)/(2ab)) = C

回答No.7

arukamun

三辺の長さが a b c で機知なら、
ヘロンの公式から三角形ABCの面積Sが出ます。
s = (a+b+c)/2
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
ですね。
これより底辺をaとしたときの高さをhとすると、
h = 2S/a
となりますね。
よって、
sinB = (2S/a)/c = 2S/ac
これより、
sin(A) = 2S/bc
sin(B) = 2S/ac
sin(C) = 2S/ab
となります。
角度を A B C を求めたいので、逆三角関数を使って
arcsin(2S/bc) = A
arcsin(2S/ac) = B
arcsin(2S/ab) = C

お礼

皆様大変ありがとうございました。
質問の動機は測量機器（測距儀）の点検のためです。
1辺が50m～100mの任意の三角形の点を設置し、三辺長
内角を測り、計算で求めた内角と実測値が合致するか
どうか。また、内角のの和が180°になるか。機器の点検を
試みるものです。
最少測角は１０秒、最少測距は１mmです。
３０年ほど前学校で、第二余弦定理をつかって導いた
ことまでは、記憶にあったのですが。.
それでは、実測してみます。

回答No.6

ItachiMasamune

余弦定理でcosθを求めたとして、角度は近似値という形でしか出せないと思います。（たまたまキリのいい数字になることがありますが。）
参考URLをごらんください

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/sin.htm

回答No.5

liar_adan

arccosが近似値であるかないかというのは、哲学的な問題です。
たしかに、十進法を使っている私たちが、実際に計算で出そうとすれば、
近似値であることになります。
しかし数学の立場から言うと、arccosという関数は「存在」します。
そうしないと話が進まないのです。

よって、この問題は、余弦定理を使えば、
「cosA=(b^2 + c^2 -a^2)/(2bc)となるcosAの値を持つ角度A」
もしくは
「A = arccos{(b^2 + c^2 -a^2)/(2bc)}」
というのが答となります。

回答No.4

nich

＞NO.3さん
arcsinやarccosなどはあくまで近似値であって、厳密な数値ではないため、角度をぴったりと言うことはできないのでは？

回答No.3

zero-fighter

下記urlのヘロンの公式を応用すれば、sinA、sinB、sinCは求まります。
となればアークサイン（でしたっけ？）を用いれば角度が求まるはずです。

もっとも、そのアークサインなどは電卓でもないと求めにくいですが。

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/heron.htm

回答No.2

bucchiworld

余弦定理で求まりませんか？

a^2=b^2 c^2 - 2bc cosA
cosA=(b^2 c^2 -a^2)/(2bc)
他BCも同様に。

数年数学から離れているので、間違っているかもしれません。。。

回答No.1

nich

角度を具体的に○○度っていう風に求めるのは不可能です。abcの組み合わせによってたまたま求めることができるものもありますが。（三角定規の形や正三角形など）
そのほかの場合は、sinやcosなどで答えることはできますが具体的には不可能です。