∮[0→1](x+1)/(x^2+x+1)^(1/

質問

∮[0→1](x+1)/(x^2+x+1)^(1/2)の値は-1+√3+(1/2)log((3+2√3)/3)で合ってるでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

一部、補足と訂正。

さらに、
　∫ x/√(x^2+x+1) dx = √(x^2+x+1) - (1/2)∫1/√(x^2+x+1) dx
なる関係を使い、
　∫ (x+1)/√(x^2+x+1) dx = √(x^2+x+1) + (1/2)∫1/√(x^2+x+1) dx
　　　↓　Ans.
　{√3-1} + (1/2)*LN{ (√3+2)/√3 }

… を得、末尾の分母を有理化すれば合ってそう。

回答No.2

178-tall

御題。
　　1
　∫ (x+1)/√(x^2+x+1) dx
　　0
の値は、-1+√3+(1/2)log{ (3+2√3)/3 } ？
チェックは結構な徒労、急ぎ脚で。

まず変数変換、t=x+(1/2), s=(2/√3)t を使い、
　　1
　∫ 1/√(x^2+x+1) dx
　　0

　 √3
= ∫1/√(s^2+1) ds = LN{ (√3+2)/√3 }
　 1/√3

さらに、
　∫ x/√(x^2+x+1) dx = √(x^2+x+1) - (1/2)∫1/√(x^2+x+1) dx
なる関係を使い、
　{√3-1} + (1/2)*LN{ (√3+2)/√3 }

… を得、末尾の分子を有理化すれば合ってそう。

回答No.1

info33

> -1+√3+(1/2)log((3+2√3)/3)で合ってるでしょうか？

合っています。