時計問題

質問

「短針（時針）は長針（分針）の動きにともない連続的に動き、長針は秒針の動きにともない連続的に動く１２時間制の時計がある。この時計において３つの針の角度が完全に一致するのは、０時０分０秒（１２時０分０秒）のときのみであることを証明せよ。」

お願いします。

回答No.2

staratras

1分間に秒針は360度、長針は6度、短針は1/2度それぞれ動き、
1秒間に秒針は6度、長針は1/10度、短針は1/120度だけ、それぞれ動く。
これは12時ちょうどに３針が一致して1分後の12時1分ちょうどには、長針は秒針の6度先にあるということであり、次にこの2針が重なるのを12時1分x秒とすると
x＝6/（6 -1/10）＝60/59、つまり長針と秒針は3600/59秒の周期で重なっていく。
同様に考えると、秒針と短針は12時1分ちょうどには1/2度離れているから次にこの2針が重なるのを12時1分y秒とすると
y＝（1/2）/（6 -1/120）＝60/719、つまり短針と秒針は43200/719秒の周期で重なっていく
この両者の最小公倍数を求めるためmとnを正の整数として、
（3600/59）m＝（43200/719）n とおく
これを整理すると719m＝708nとなるが、719は素数であり、708はこの倍数ではないから、これを満たす最小のm、nはm＝708、n＝719である。
このとき上式の両辺の値は43200となる。43200秒＝720分＝12時間であるから
3つの針がちょうど重なる周期は12時間であり、最初に12時0分0秒で一致しているためこれ以外の時刻で一致することはない。

回答No.1

chie65535

短針と長針が１２時間で重なる回数は１１回である。

０時０分０秒からスタートして、１２／１１時間ごとに、短針と長針が重なる。

分にすれば、７２０／１１分ごとに、長針と短針が重なる。

秒にすれば、４３２００／１１秒ごとに重なる。

短針、長針、秒針が、問題の条件で重なる為には、その必要条件として、短針と長針が重なっている必要がある。

４３２００＝２^6×３^3×５^2なので、１１とは互いに素である。

なので、１回目と１２回目に重なる０時０分０秒と１２時０分０秒のときだけ、３針は重なる。

したがって、それ以外の時刻で３針が重なることは出来ない。