フォークト関数の半値幅をσとγから計算するにはどう

質問

フォークト関数の半値幅をσとγから計算するにはどうしたら良いでしょうか。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

フォークト関数V(x)
は
V(x)=C∫_{-∞～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}]/{(t-x)^2+γ^2}dt
と表される.[ただしC=γ/{(σ√2)π^(3/2)}]
変形すると
V(x)=C∫_{0～∞}[e^{-(t-x)^2/(2σ^2)}+e^{-(t+x)^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt
となる
V(-x)=V(x)
だからx=0に対して線対称
x=0でV(x)は最大値
V(0)=2C∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt
をとる
V(x)=V(0)/2
となる|x|を半値半幅,2|x|を半値幅という
∫_{0～∞}[e^{-(t-x)^2/(2σ^2)}+e^{-(t+x)^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt=∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt
となるxを求めればよい
e^{-x^2/(2σ^2)}∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}{e^(xt/σ^2)+e^(-xt/σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt=∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt
ここで
e^(xt/σ^2)～1+xt
e^(-xt/σ^2)～1-xt
e^(xt/σ^2)+e^(-xt/σ^2)～1+xt+1-xt=2
と近似すると
2e^{-x^2/(2σ^2)}∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}/(t^2+γ^2)dt～∫_{0～∞}[e^{-t^2/(2σ^2)}]/(t^2+γ^2)dt
2e^{-x^2/(2σ^2)}～1
e^{-x^2/(2σ^2)}～1/2
-x^2/(2σ^2)～-log2
x^2/(2σ^2)～log2
x^2～(2log2)σ^2
x～σ√(2log2)

お礼

ありがとうございます。