数B数列

質問

画像の通り何故このように展開されるのかわかりません。何故初手でこのように展開されるのでしょうか？ご回答宜しくお願いします。

回答No.2

f272

Σ[k=1 to n](a[k]r[k])
=a[1]*r[1]+Σ[k=2 to n](a[k]r[k])...k=1のときだけ別にした
=3*1+2*Σ[k=2 to n](a[k])...わかっている数値を代入した
=3+2*(n-1)/2*(5+(2n+1))...等差数列の和の公式...(項数)/2*(初項+末項)
=3+(n-1)*(2n+6)...簡単にした
=2n^2+4n-3...簡単にした

回答No.1

deshabari-haijo

an=2n+1、r1=1、r2=r3=...=r(n-1)=rn=2であるから、
∑(k=1～n)akrk
=a1r1+a2r2+a3r3+...+a(n-1)r(n-1)+anrn
=a1r1+2{a2+a3+...+a(n-1)+an}
{}の中は、初項a2=2×2+1=5、末項an=2n+1、項数n-1の等差数列の和であるから、
∑(k=1～n)akrk
=a1r1+∑(k=2～n)akrk
=(2×1+1)×1+2×(n-1){5+(2n+1)}/2
=3+(n-1)(2n+6)
=3+2n^2+4n-6
=2n^2+4n-3

また、次のように考えることもできます。
初項a1=3、末項an=2n+1、項数nの等差数列の和の2倍（この中には2a1が含まれる。）から、a1×1=3を引いて元に戻します。
∑(k=1～n)akrk
=a1r1+∑(k=2～n)akrk
=∑(k=1～n)akrk-a1×1
=2×n{3+(2n+1)]/2-3
=n(2n+4)-3
=2n^2+4n-3