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電気回路の問題が解けません

下記添付した画像の問題が解けません。R,Cがそれぞれ100Ω、2uFと決まっており、Lがいくつになるかという問題です。「周波数が無関係に抵抗Rに等しくなるように」と問題文にあるため、共振の問題で、虚数部を0にすればいいのかと思って計算するのですが、なかなか答えのL=20mHが導きだせません。 解き方を教えていただけないでしょうか? ※添付画像に問題文を記載しましたが、小さく読みにくいかもしれませんので、 こちらにも書きます。 問:a-b端子間のインピーダンスが周波数に無関係に抵抗Rに等しくなるようにするにはLをいくつにすれば良いか?

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R//L のインピーダンス = 1/{ (1/R)+(1/sL) } = sLR/(R+sL) R//C のインピーダンス = 1/{ (1/R)+sC } = R/(1+sCR)   ↓ 合成インピーダンス Z (= 両者の和)  Z = sLR/(R+sL) + R/(1+sCR)  = R*{ sL/(R+sL) + 1/(1+sCR) }  = R*{ sL(1+sCR) + (R+sL) }/{ (R+sL)(1+sCR) }  …(1) 式 (1) にて、Z/R が複素周波数 s によらず定数 k だと仮定。  { sL(1+sCR) + (R+sL) }/{ (R+sL)(1+sCR) } = k    ↓  {s^2(LCR) + s(2L) + R}/{s^2(LCR) + s(L+CR^2) + R} = k これは、左辺にて分母 = 分子ならば成立つ。 つまり、  2L = L+CR^2    ↓  L = CR^2  L/C = R^2  √(L/C) = R  …(2) >R,Cがそれぞれ100Ω、2uF…    ↓ (2) により、  L = R*C^2 = 2.0e-2 = 20 (mH)   

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質問者からのお礼

コメントが遅くなってしまい、すみません。 複素周波数を用いると計算が楽になるのですね。 ベストアンサーとさせていただきます。

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Z=1/(1/100+jw0.2*10^(-6))+1/(1/100-j/(wL)) =100(10000wL-j(500000-Lw^2))/((5000+jw)(wL-j100)) a-b端子間のインピーダンスが周波数に無関係に抵抗Rに等しくなるようにするには Im(Z)=10000w(50L-1)(500000-Lw^2)/{(w^2+25000000)(w^2L^2+10000)}=0 50L=1, L=1/50 [H]=20 [mH] かつ Re(Z)=100*(w^4*L^2+50000000*w^2*L^2+250000000000) /{(w^2+25000000)(w^2L^2+10000)}=100 [Ω] ∴ L= 20 [mH]

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