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不等式の問題
A、B、Cが正の数で、 A+B(2-t)+C(t-1)≧０を満たすｔの範囲を求めたいのですが、 ２－ｔ≧０ ｔ－１≧０が必要だから １≦ｔ≦２が必要なことは言えますが、これで十分、というのはどのように示したらいいでしょうか。
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#2です。 ANo.2の補足です。 > B=Cの時 F=A+2B-C ∴A+2B-C≧0 任意のtに対して与不等式が成立するための必要十分条件は ∴B=C、A+B≧0 となります。 > B>Cの時 C-B<0より、∴t≦(A+2B-C)/(B-C) これは B>Cの時、t≦(A+2B-C)/(B-C) を満たす範囲のtに対して与不等式が成立する為の必要十分条件が B>C になります。 > B<Cの時 C-B>0より、∴t≧(A+2B-C)/(B-C) これは B＜Cの時、t≦(A+2B-C)/(B-C) を満たす範囲のtに対して与不等式が成立する為の必要十分条件が B<C になります。
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F=A+B(2-t)+C(t-1)=(C-B)t+(A+2B-C)≧0 必要十分条件は以下のように場合分けして求めます。 B=Cの時 F=A+2B-C ∴A+2B-C≧0 B>Cの時 C-B<0より、∴t≦(A+2B-C)/(B-C) B<Cの時 C-B>0より、∴t≧(A+2B-C)/(B-C)
先ず、「1≦t≦2」であることは、「A+B(2-t)+C(t-1)≧０」であるための十分条件です。 そして、A=１、B=2、C=3、t=0.5としてみてください。 A+B(2-t)+C(t-1)=1+2×(2-0.5)+3×(0.5-1)=1+3-1.5=2.5≧0 よって、必要条件にはなりません。
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