不等式の問題ですが。

質問

数学Aの不等式の問題でわからない所があるのですが。
3(a^2+b^2+c^2)≧(a-b-c)^2を証明せよ。と書いていまして。
3(a^2+b^2+c^2)≧(a-b-c)^2
＝2a^2+2b^2+2ab-2bc+2ca
=(a+b)^2+(b-c)^2+(c+a)≧0
よって3(a^2+b^2+c^2)≧(a-b-c)^2
また、等号が成り立つのは、a=-bかつb=cのときである。
わからない所は、等号が成り立つのは、a=-bかつb=cの所で。
どうしてa=-bかつb=cになるのですか？
不等式がわからないので詳しく教えてくださいお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> 3(a^2+b^2+c^2)≧(a-b-c)^2
3(a^2+b^2+c^2)-(a-b-c)^2 のミス
> =2a^2+2b^2+2ab-2bc+2ca
> =(a+b)^2+(b-c)^2+(c+a)≧0
=(a+b)^2+(b-c)^2+(c+a)^2≧0　のミス
正確にお願いします。

> どうしてa=-bかつb=cになるのですか？

等式は
a+b=0…(1)
b-c=0…(2)
c+a=0…(3)
が同時に成立する時です。
(2)からb=cですから、
このとき(3)は
(3)の左辺=c+a=b+a=(1)の左辺
ですから
(1)と(3)は同値です。
従って、
(1)と(2)の条件だけで十分です。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
文字の間違えすいません。
またよろしくお願いします。

回答No.3

take_5

いつもの事ながら、入力ミスです。

＞x、y、zを実数とすると、3（x＋y＋z）＾2≧（x＋y＋z）＾2　（等号成立はx＝y＝zの時）が成立する

　　　　　　　　　　　　　↓

x、y、zを実数とすると、3（x＾2＋y＾2＋z＾2）≧（x＋y＋z）＾2　
（等号成立はx＝y＝zの時）が成立する

お礼

まいどまいど、すいません。

回答No.1

take_5

x、y、zを実数とすると、3（x＋y＋z）＾2≧（x＋y＋z）＾2　（等号成立はx＝y＝zの時）が成立する。
この式に、x＝a、y＝-b、z＝-cとして代入したに過ぎないから、等号成立は、x＝y＝zのとき、即ち、a＝-b＝-cの時。

a＝-b＝-cの時とは、即ち、a＝-b、and、b＝cのとき。