梁の曲げ 接触面積と面圧について

質問

いつもお世話になります。
前回と関係する質問になってしまい恐縮ですが
ご教示いただけないでしょうか。

まずはこの雑なスケッチをご覧ください。
http://imgur.com/a/ytbhk
・緑色の梁の先端に2000kgfの荷重がかかります。
・緑色の梁は回転しないように青色のブロックで固定されています。
・この時にA部に生じる面圧が知りたいです。
　（青色、緑色とも奥行は10mmで材料はSS400です。）

そもそも, A部の青色ブロックと緑色の梁はきちんと
面当たりするのでしょうか。点接触になってしまうのでしょうか。
もし後者の場合, 皆さんはどのようにして面圧を計算されますか。

感覚的には上部の青色ブロックについては面当たりしそうですが,
A部の青色ブロックは点接触になってしまう感じがします・・・。

お忙しいところ申し訳ありません。
どうかよろしくお願いいたします。

スケッチ絵
http://imgur.com/a/ytbhk

回答No.6

noname#230359

↓ヘルツ式？

【参考】の二つ目　1.1　二物体の接触

　　1.2　仮定
　　　ヘルツ接触の計算に当たっては、以下のような仮定がされています。　
　　　-----------------------
　　（4）変形は材料の弾性限度内で行われる。

当初は無限大の応力を支えきれず塑性変形するからヘルツ式では扱えません。塑性変形が落ち着いた段階ではヘルツ式で扱えるが、接触面が大きくなっても意味をなさなく、
その目安が橋梁などの　穴／ピン　の比率で定められ
　　回答（4）　　　　ｒ1／ｒ2　 が1.02を超える場合にヘルツ式を適用
となってます。

＜　接触面が大きくなる　＞
場合は、静止構造物の橋梁でも僅かな応力振幅が繰返されることによる、フレッティング摩耗が原因してると考えられます。

↓デタラメ居士？孤児!!

　　http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=313750&event=QE0004

参考URL：

http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=276889&event=QE0004

回答No.5

noname#230359

再出です。

“接触面積と面圧について”に関しては、似たものにヘルツ式があります。

大きな反力を受け、かつ安全に移動ができる機械構造には、ボールベアリングやローラーベア
リングを使います。
幾何学的に見れば、円と直線の接触は一点です。力学的には接触部分が相互に弾性的な変形を
した狭い幅（面積）で接します。
この幅は、作用する荷重の大きさで変化します。これを解析的に求めたヘルツの名前をつけた
公式があります。
参考のため、表6.6と表6.7に挙げておきます。
ベアリング用の鋼材は、特に強度の高い材料を使います。接触部分に熱処理をすることもあり
ますし、特殊鋼を溶着する例もあります。
鉄筋コンクリート製のロッカーでは、接触面に鋼材を使います。
の内容のような。

URLにその内容を3点示します。
貴殿でも、“ヘルツの式”にて検索し、概略の内容を把握ください。
今は難解でしょうが、そのような式があることが判れば、今後機械工学の知識と経験が上がれば、
徐々に使いこなせたり、応用展開ができたりします。
（前出記載内容の一部は、ヘルツの式と同じものがありますね）

iwanaiこと岩魚内の上げ足取り記載が、またまたまたされている。
質問者さんに於かれましては、ヘルツの式の考え方を少しだけ理解してほしいだけ。
ヘルツの式は、質問者さんには難解なことが多いですが、今後機械工学の知識と経験が
上がれば、徐々に使いこなせたり、応用展開ができたりするので、将来をみこしての紹介です。
それに、質問者さんからは、2000kgfの荷重の掛かり方が、静的か動的かの明記がないので、
iwanaiこと岩魚内の
> “　接触面が大きくなる”場合は、静止構造物の橋梁でも僅かな応力振幅が繰返される
> ことによる、フレッティング摩耗が原因してると考えられます。
や、
> 回答（4）　ｒ1／ｒ2　 が1.02を超える場合にヘルツ式を適用となってます。
記載は時期尚早。
SMA490BPは、
http://www.ishiharashouji.jp/pdf/QA-Ver2-A008.pdf
にて、降伏点は355N/mm2（36.2kgf/mm2）なので、S45C35.2kgf/mm2より若干降伏点が高い。
因って、2000kgfの荷重の掛かり方が心配ですが、静的には宜しいんじゃないんでしょうか
となります。

まあ、問い合わせ内容が、
★ 点接触か、面当たりになるか
☆ 面圧力の計算方法
の２点であることに間違いがない。
面圧力の計算値に対しての考察は、
? 2000kgfの荷重が静的か動的かで異なる
? ブロックの受ける仕様が、弾性内範囲か若干の塑性域範囲まで許されるかで異なる
　 (梁にも同じ応力が掛かることが多いので、注意が必要です)
? 使用材がSS400と記載されていますが、みがき平鋼使用の場合はS45C、溶接材なら質問者さん
　 記載のSMA490BP材を使用する場合は、許容面圧力が上昇するで異なる
　 ※ SS400　　　降伏点　　215 N/mm2 → 22 　kgf/mm2　
　 ※ S45C 　　　降伏点　　345 N/mm2 → 35.2 kgf/mm2 （SS400の1.6 倍）
　 ※ SMA490BP 　降伏点　　355 N/mm2 → 36.2 kgf/mm2 （SS400の1.65倍）
となり、次の補足問い合わせが出ての本格記載にすべきです。

参考URL：

http://www.takitard.com/engineering/heltz/heltz.pdf https://pub.nikkan.co.jp/uploads/book/pdf_file4e700d5506405.pdf http

回答No.4

noname#230359

先ず、マンガを作成しました。
ざっくりでも手計算で面圧を算出できれば、・・・なら、スケッチも考察時にの重要な要素です。

　　│←　　　　　　240 　　　　　　→│
　→│40│←　　　　　　　　　　　　　│
　　│　│　　　　　　　　　　　　　　│
　　┏━┓　　　　　　　　　　　　　　│
　　┃　┃　　　　　　　　　　　　　　│　　　↓　
　↑┣━┻━━━━━━━━━━━━━━┓────
Ｆu┃　　　　　↓Ｆl 　　　　　　　　┃　梁：60mm、ブロック間：60.1mm
　　┗━━━┳━┳━━━━━━━━━━┛────
　　│　　　┃　┃　　　　　　　　　　│　　　↑
　　│　　　┗━┛　　　　　　　　　　↓2000kgf
　　│　　　│　│
　　│←60→│40│←

> そもそも, A部の青色ブロックと緑色の梁はきちんと面当たりするのでしょうか。点接触に
> なってしまうのでしょうか。
ＹＥＳです。理由は、梁：60mmとブロック間：60.1mmに隙間0.1mmあるからです。
正確に云えば、弾性又は塑性変形で点が小さな面当たりとなりますが、隙間が0.1mmと多く、
ブロック40mmが全体に当たることはありません。

さて、ブロックにかかる力を手計算レベルで、ざっくり考察しますと、
◆ 上図マンガ上ブロックに掛かる力であるＦuは、　　　　(uはUPPER)
　 (40mm＋20mm＋40mm)×ブロックに掛かる力：Ｆu kgf ＝ 140mm×2000kgf
　 にて、ブロックに掛かる力Ｆu kgf ＝ 2800kgf
◇ 上図マンガ下ブロックに掛かる力であるＦluは、　　　　(lはLOWER)
　 (40mm＋20mm＋40mm)×ブロックに掛かる力：Ｆlu kgf ＝ 240mm×2000kgf
　 にて、ブロックに掛かる力Ｆu kgf ＝ 4800kgf
です。
では、SS400の降伏点である215[N/mm2] → 22[kgf/mm2]対してどれ位の面積かは、
ブロックは、長さが40mmで幅が10mmが仕様なので、
◆ 上図マンガ上ブロックは、
　 2800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝12.7mmの計算にて、左から12.7mm×10mm幅の接触
◇ 上図マンガ下ブロックは、
　 4800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝21.8mmの計算にて、右から121.8mm×10mm幅の接触
となります。
面圧力は、SS400の降伏点以上にはならないし、なったら塑性変形をしてブロックでは
受けれないとなります。
以上は、手計算での本来は、ブロックが受けれる荷重を基に計算したものです。
ブロックに梁が接触する部分は、面圧力的にはフラットではなく、
略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmである0.00573°傾斜です。

尚、経験則から判断をすると、ブロックはSS400ではなくみがき平鋼のS45Cを、
同じく梁もSS400ではなくみがき平鋼のS45Cを其々使用することが望ましいです。
面圧力問題でね。

難しい内容の記載をしますと、弾性変形内でどれだけの歪むかと、
略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmである0.00573°傾斜の関係を以下に確認することが重要で、
SS400やS45Cの縦弾性係数は、2.1×10^4kgf/mm2で、降伏点はSS400が22[kgf/mm2]で
S45Cが35.2[kgf/mm2]で1.6倍になることで、この時点で有利と判る。

それと、上段で略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmである0.00573°傾斜です
　　　　　　　　　↓誤りで
　　　　　　　略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmである0.0573°傾斜です
が正解です。
それと、
　 4800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝21.8mmの計算にて、右から121.8mm×10mm幅の接触
　　　　　　　　　↓誤りで
4800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝21.8mmの計算にて、右から21.8mm×10mm幅の接触
が正解です。

さて、傾斜に関する考察は、フックの法則σ＝Ｅ×εにて、
■ SS400は、
　 22kgf/mm2＝2.1×10^4kgf/mm2×ε、ε＝22kgf/mm2÷2.1×10^4kgf/mm2＝0.00105
　 略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmは、0.1/100＝0.001となり、縦ひずみと同じになる。
　 因って、最初点当たりするブロックの外側が降伏点荷重受けで塑性変形しない弾性変形ギリギリ
　 荷重なら20mm/40mm中央部はその半分で、内側が略零なら、降伏点の1/2×40mm×10mmが受けれる
になり、
◆ 上図マンガ上ブロックは、
　 2800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝12.7mmの計算にて、左から12.7mm×10mm幅の接触
◇ 上図マンガ下ブロックは、
　 4800kgf÷(22kgf/mm2×10mm)＝21.8mmの計算にて、右から21.8mm×10mm幅の接触
荷場合、上図マンガ下ブロックが40mm/2 ＜ 21.8mmで塑性変形域となる。

□ S45Cは、
　35.2kgf/mm2＝2.1×10^4kgf/mm2×ε、ε＝35.2kgf/mm2÷2.1×10^4kgf/mm2＝0.00168
　 略(40mm＋20mm＋40mm)に対して0.1mmは、0.1/100＝0.001となり、縦ひずみの1.6倍になり
　 より塑性変形し難くなる。(40mm/2×1.6＝32mm ＜ 21.8mmで弾性域内となることが判る)

その他に
ブロックを調整式にして、梁を挟み込む構造にするなら(40mm＋20mm＋40mm)に対して隙間が零
の面当たりになる
梁をみがき材等にして60mmのマイナス公差にし、ブロック間を60mmのプラス公差を0.03に縮め
対応するもありです。

SMA490BPは、
http://www.ishiharashouji.jp/pdf/QA-Ver2-A008.pdf
にて、降伏点は355N/mm2（36.2kgf/mm2）なので、S45Cより若干降伏点が高い。
因って、2000kgfの荷重の掛かり方が心配ですが、静的には宜しいんじゃないんでしょうか？

参考URL：

http://www.toishi.info/sozai/ss/ss400.html http://kousyoudesignco.dip.jp/ZAIRIKI5.html

お礼

ありがとうございます。
面圧応力がいくらになるかではなく逆転の発想ですね。
ブロックが局所的には塑性変形するけれども、
最終的には接触面積が増していき受けきれるということですね。

便宜上, SS400と書いてしまいましたが
材料はSMA490BPを使用予定です。
（なぜか弊社にはこの材料をメインで使ってします）

回答No.3

noname#230359

皆さん、おはよう御座います。三連休如何お過ごしでしょうか（私は暇だw）

私が解くのならば（FEAに頼らずに・・・FEMしか知らんぞ）
FEA (Finite Element Analysis: 有限要素解析法)・・・なぁる
零細企業の我社にも無い。勿論、3Dも無いから手計算と設計氏の経験と勘か。

まづマクロ的に↓のように計算してみて反力を導きますね（あら応力過大？）
次に約 7.5 kN と出た反力を面積計算し 接触面圧σc=120 N/mm2 が求まる。
此れは御気付きのように平均面圧です。貴殿の言うように点接触になろうから
現実には此れより大きくと思われる。私なら最低現2倍の安全率を掛けます。
この係数を求めるのが凄く難しいだろうと言うのは判るが、手計算では難しい

そもそも、すべり軸受にしても吊り板の接触面にしても局所的には降伏しても
周囲に伝播するであろうから此のsize(mm)であれば平均面圧で構わないかと。
戻って、何故に此程までに面圧に固執するのか？そちらの方が気になります。

まづ面圧が許容面圧より大きいとどうなるのか？分かりますか？
平行キーで此の手の不具合は余り見ませんが、歯車や軸受などの場合においては
所謂、接触面圧の過大はピッチングやフレーキングなどを生じるので見逃せない

但し、これが常時摺動している(動荷重）ところに使用するモノでなければ私は
余り気にしません。一般的には許容曲げ応力よりも許容支圧応力の方が大きいと
記憶しています。まぁ使用環境を考えなければならないということだろう。
先の吊り板では短期的な荷重であるからか、接触応力も検討はしませんねぇ。
静的支圧が大きくて延性材料が破壊したとは聞かない。精々変形だろうかと。

少し気になるのが＞青色ブロックと緑色ブロックの隙間が0.1mm　です。
ガタが大きいと、どのような荷重なのか(動的か静的か）にもよるだろうが、
コレは単に曲げや支圧応力だけではなく急激なせん断力も生じる場合もあろう
だから機械設計では殊更にガタが大きいと気になる。疲労も考えないとならん

＞もし最初にどこかが塑性変形するとすれば
＞A部青色ブロックの下側の角（梁の回転中心）が局所的に凹むのでしょうか。
どのように破壊するかは条件次第だろうが、そうならないようにする訳だね。

参考URL：

http://www.fastpic.jp/viewer.php?file=8171095938.jpg

お礼

ありがとうございます。
私自身、文系ということもあり今色々と勉強している最中で
色々なサイト、規格等を読んでいます。

すると平行キーに関して,
"せん断よりも面圧の方が弱い" というフレーズがありました。
ですので面圧の方を算出してみたかったのですが
接触問題が私の手には負えませんでした。

青色ブロックと緑色ブロックの隙間が0.1mmということから
平均面圧程度ということでしょうか。

もし最初にどこかが塑性変形するとすれば
A部青色ブロックの下側の角（梁の回転中心）が局所的に凹むのでしょうか。
面圧が降伏応力を超えるとどうなるのかが良く理解できておりません。

回答No.2

noname#230359

＞A部の青色ブロックは点接触になってしまう感じがします・・・。

曲げモーメントと断面係数を使って、梁に加わる応力を算出して、許容応力度
内に収まるかを検証するのは、マクロな設計です。

これに対して、集中応力が加わる部分の局部的な応力分布に対処するのは、
ミクロな設計です。ミクロな設計がきちんとできていないと、応力集中部で
部分的な座屈が発生して、梁全体の健全性を保てなくなります。

A部は、成り行きに任せるのではなく、梁に補強材を取り付けたり、接触部
に応力分散板を挟んだりして、力学的な構造を明確にして、構造に応じて
応力を計算することが一般的と思います。

梁の断面形状が、H型とか、角パイプであれば、応力集中部で発生する部分
的な座屈が、梁全体の健全性を損なう原因となりますが、
梁の断面形状が、ムクの角材であれば、局部的な応力が材料の降伏点を超え
て局部的な塑性変形が起こっても、梁全体の健全性は保てると思います。

後者の場合、塑性変形によって、接触面積が増えて局部的な応力は減少し、
降伏点を下回る状態で落ち着くようになります。
このような状態を設計的に許容できれば、局部的な応力計算を省略しても
支障が生じないかもしれません。

参考URL：

http://library.jsce.or.jp/Image_DB/committee/steel_structure/book/56430/56430-0001.pdf

お礼

ありがとうございます。
参考サイトが非常に勉強になりました。

回答No.1

noname#230359

前回の質問は１週間放置だったから、
真面目な回答も一週間後に追記予定で余裕かな。

適当に…

> A部の青色ブロックと緑色の梁はきちんと面当たりするのでしょうか。

素材形状とかヤング率とか条件しだいですねえ。

>点接触になってしまうのでしょうか。

両者が胴体ならそうなるね。

>もし後者の場合, 皆さんはどのようにして面圧を計算されますか。

真面目見やるなら有限要素法だね。

お礼

ありがとうございます。
そして申し訳ございません。
自宅のパソコンからでしかログインできない環境でして。

FEAですか。
私の勤めている会社は大変小さくて
電卓ぐらいしかありません・・・。
ざっくりでも手計算で面圧を算出できれば幸いなのですが。