2つの密閉容器の圧力が均等になるまでの時間の計算…

質問

2つの密閉容器の圧力が均等になるまでの時間の計算方法

窒素を充填した密閉容器α（体積：a(m^3),圧力A(Pa))と、同じく窒素を充填した密閉容器β（体積：b(m^3),圧力B(Pa)）の2つの密閉容器を用意します。
この2つの密閉容器を直径ｃ(m)で長さがｄ(m)の丸ホースでつなぎ、ｄ/2(m)の位置にバルブを設置します。
はじめバルブは閉じているものとして、ホース内の圧力はバルブを境に密閉容器と同じ圧力になっているものとします。
バルブを開くと2つの容器内で圧力が移動し、一定時間T(s)がたつと圧力は均等になると思います。

質問したいのはバルブを開けた瞬間から2つの容器内で圧力が均等になるまでの時間T(s)の計算方法です。
どの様な式を用いて計算したら良いのでしょうか？
簡単なことなのかもしれませんが困っています。
よろしくお願いします。

２つの容器が完全にイコールになるには無限大の時間がかかるとのご指摘を頂きましたので追加で記入させて頂きます。

今回の計算では完全にイコールではなく、簡易的に計算ができ、二アリーイコールの答えを算出できる程度でかまいません。
なにか公式などございましたら教えて頂けるとありがたいです。

回答No.3

noname#230359

この森の検索システムを使用して、検索内容を“ベルヌーイ”とし、“キーワード検索”で
“すべてから検索”にて検索下さい。
すると、圧力差の圧力 ⇒ 流速を求める回答又はアドバイスが確認できます。
それを使用して、微積分（この場合は積分）で求めるのですが、難解な場合は以下のような
手法で求めます。
? 当初の圧力差から流速を求め、ホースの内径断面積をかければ、流量が求まります。
　 本来は、ホースやバルブの圧力損失を算出し、（当初の圧力差－圧力損失）の圧力から、
　 流速を求め流量を求めると、実際に近い値となります。
　（今回は、圧力損失の説明は省きます。必要なら貴殿で“圧力損失”を用語検索する等して、
　 確認して下さい）
　 でも、当初の圧力差は、時間の経過と共に小さくなりますから、先ず1秒間（大きな物であれば
　 5秒間や10秒間、30秒間、60秒間、…と時間を長くしても良いです）の出入りする流量を
　 求めます。
　 そして、その出入りの流量で双方の圧力変化を確認します。
　 求めた流量は、1atmでの流量（Nℓ）なので、双方の圧力容器の期待もNℓ換算し、圧力変化
　 を計算して下さい。
? 1秒後の圧力差から流速を求め、ホースの内径断面積をかければ、流量が求まります。
　 後は、?と同じです。
? 2秒後の圧力差から流速を求め、ホースの内径断面積をかければ、流量が求まります。
　 後は、?と同じです。
? 2秒後の圧力差から流速を求め、ホースの内径断面積をかければ、流量が求まります。
　 後は、?と同じです。
?、?、?、……、?位計算します。
これで、当初の圧力差の1割程度にならなければ、1秒間での計算では短すぎなので、時間を
大きくしなければなりません。
そして、1割程度になる計算データがでれば、縦軸に双方の圧力差、横軸に時間の点グラフ
を作成し、それを連ねると二アリーイコールになる圧力差までの時間が求まります。
（または、5*回位計算すると、計算上は零又はマイナスとなりますから、その時間となります）

以上のようにして、積分を使用しないでグラフで求める内容は理解できましたか？
（積分を使用できるなら、グラフの説明は不要となりますが…）

お礼

回答を有難うございます。
なるほど、ベルヌーイから求めればいいんですね、思いつきませんでした。
とてもわかりやすく教えて頂いてうれしいです。
早速計算してみます、有難うございます。

回答No.2

noname#230359

ハーゲン・ポアズイユの式が、管路の抵抗を考えるのに有効と考えますが、今回の質問は双方の圧力が変化するので簡単な計算ではちと無理かと考えます。

お礼

回答を有難うございます。
管路の抵抗を求めることができるだけでも大きな進歩ができます。
早速調べてみます、有難うございました。

回答No.1

noname#230359

2つの容器内で圧力が完全にイコールになるには無限大時間かかります。
実用的に等しいとみなせる程度の圧力差を決めておくことが必要と思いま
すが、適切な指標があればご教示下さい。

お礼

的確なご指摘ありがとうございます。
ただ今回の計算では完全にイコールではなく、簡易的に計算ができ、二アリーイコールの答えを算出できる程度でかまいません。
なにか公式などございましたら教えて頂けるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。