減衰係数と損失係数。損失係数の周波数特性

質問

除振ゴムをバネとダンパーで表した運動方程式を立て、外部の変位(y)⇒装置(x)への振動伝達を抑制する計算をしました。運動方程式
mx: + c(x･ - y･) + k(x - y) =0（:、･、は加速度、速度を表す微分要素）として y=y0 cos ωt に対する 定常解を x = x0 cos(ωt-Φ）とすると振動伝達率は
√（ (1/u^2 + η^2) / (1/u - u)^2 + η^2) )
となります。ここに
　η = c/√(mk)、u = ω/√(k/m) で、uは固有角振動数比です。ηは損失係数と呼ばれています。

　損失係数はこのモデルではダンパーの減衰係数c に比例しますが、系の装置質量の平方根√mに反比例しています。これでは物質の特性としては相応しくないと思うのですが、ゴムの減衰係数c（やバネ定数k）は、載せた装置の重量によって変わり、損失係数ηは装置重量にかかわらず一定のように見えるのでしょうか。

また防振ゴムの教科書では 上記伝達率を
√（ (1 + η^2) / (1 - u^2)^2 + η^2) )
としているものがあります。この場合、η = ω･c/k と置き換えたことに
なりますが、何か根拠があるのでしょうか。

参考：
小野測器さんの
www.onosokki.co.jp/HP-WK/c_support/faq/pdf/cf5damping_facter.pdf
除振系ではなく防振系なので方程式が少し違いますが η（ここでは=1/Q=2ζ）は同じです。

http://soil1.civil.tohoku.ac.jp/~uzuoka/sd2007/main_analysis.pdf
http://www.mech-da.co.jp/keisoku/sample.pdf

回答No.1

noname#230359

基本的には，ゴムの損失係数ηは，周波数に関わらず一定とみなします。

また，ゴムを振動系に組み込んだ場合は，一般的には，複素バネ定数
　　　K = k(1+jη) ・・・(1) (但し，jは複素数)
を導入します。

(1)を使って運動方程式を立て直し，振動伝達率を計算すれば，貴殿の言う
　　　√（ (1 + η^2) / (1 - u^2)^2 + η^2) )
になるはずです。

また，η = ω･c/k の件ですが，これは，バネとダンパーの並列系において，
ダンパーをバネとみなし，見かけのバネ定数をjωCと置けば，合成バネ定数
は，
　　　K = k + jωC　・・・(2)
となります。(1)と(2)が恒等的に等しいと置けば，
　　　ωC = kη　　・・・(3)
になります。

なぜjωCとできるかは，粘性抵抗による力 f = C(dx/dt),x=X・exp(jωt)と
してやればわかると思います。

厳密に言えば，ゴムは変形形状によってバネ定数が変化します。なので，ゴムは実際は非線形バネです。

この辺については，防振ゴムの本をお持ちなら，詳しく書かれていると思います。

お礼

mina さん、早速回答ありがとうございます。

　質問が２つあって回答していただいたのは η = ω･c/k の方だと思います。
まだ意味が良くわからないのですが、物理モデル（運動方程式）の粘性項
f = c dx/dt を用いるのではなく、f = ( k1 + jk2 ) x で系を計算すると、
η = ωC/k1 になるということでしょうか。
　ここではηは一定ではなく、ωによって変わってしまうことになりますが、
これはどういうことなのでしょうか。

　もう一つの質問、η = c/√(mk) の方は、そもそもこのように物理モデル
を立てることが間違い、ということでしょうか。

補足

防振ゴムについて、本は手元になく要所のコピーをもらっいるのでゴムの
性質も良くわかりません。