1自由度変位強制振動の状態空間表現

質問

振動工学や制御工学で良く例題に挙げられるマス・ばね・ダンパ系の１自由度振動系について質問です。
マスをm1、ばねをk1、ダンパをc1と設定し、マスの上下変位をz1とします。
また、基礎の変位をz0とします。
この系に外力が作用せず、強制変位（z0 = sinωtなど）のみ作用するとき、
入力：z0
出力：z1
の状態空間表現
x_dot = A*x + B*u
y = C*x + D*u
x：状態変数ベクトル
u：入力ベクトル
y：出力ベクトル
を導出したいのですが、z0_dot（変位z0の速度）はどのように取り扱えば良いのでしょうか？
状態変数をどのように置けば良いでしょうか？

ウェブ上を探しても、この例題が挙げられているページを見つけることができませんでした。
状態空間表現ではなく、古典制御理論の伝達関数表現なら導出できるのですが…。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

masudaya

ヒントだけ

運動方程式を
m1Z''+c1Z'+k1Z=0
とし，
x=(Z,Z')^{T}
とすると

x'=(Z',Z'')T
=(0*Z+1*Z',-k1/m1*Z-c1/m1*Z')
= 「 0 1 |
| | *x
|-k1/m1 -c1/m1」

とできます.

以降はご自身でお考えください.
演習書などを見ればでているものともいますが...

補足

masudaya様、ご回答ありがとうございます。

私の書き方がわかりにくかったようで、
誤解を与えてしまったことをお詫びします。

マスをm1、ばねをk1、ダンパをc1と設定し、マスの上下変位をz1、基礎の変位をz0とした時、
m1*z1_2dot + c1*(z1_dot - z0_dot) + k1*(z1 - z0) = 0　－(1)
または
m1*z1_2dot + c1*z1_dot + k1*z1 = c1*z0_dot + k1*z0　　－(1)’
という運動方程式になるかと思います。

この式中のc1*z0_dotは、状態空間表現ではどう扱えば良いのか？
という質問内容です。

(1)式の運動方程式をラプラス変換（簡単のため、初期値を z1(0) = z1_dot(0) = 0、z0(0) = 0 とします）して伝達関数を導出する場合は
Z1/Z0 = (c1*s + k1) / (m1*s^2 + c1*s + k1)　－(2)
（Z1, Z0はそれぞれz1, z0のラプラス変換表現、sはラプラス演算子です。）
となり、c1*z0_dotを式中に含めていると思います。

この(2)式の状態空間表現はどのようになるのでしょうか？

masudaya様のご回答頂いた表現では、z0およびz0_dotが無いように思うのですが…。
Z = z1 - z0
Z' = z1_dot - z0_dot
として
x = [z1 - z0,
　　　z1_dot - z0_dot]
と置いて考えられているのでしょうか。
その場合、
x_dot = [z1_dot - z0_dot,
　　　　 　z1_2dot - z0_2dot]
となりますが、この中の z1_2dot - z0_2dot はどのように表現すれば良いのでしょうか？

お手数ですが、ご教示よろしくお願い致します。