梁の計算

質問

今、実験を行う為の準備段階として以下のような冶具を考えています。

側面の高さh(mm)、面の縦,横x(mm)(h<x)、重さM(g)の正方形の物体（材料は鉄）があり、この物体の面と床との間には粘着力F(1kgf/cm^2)の力で引っ付いています。この物体の１側面中心に長さL(mm),直径r(mm)のピアノ線を一端自由、他端固定の片持梁のモデルのように取り付けて自由端に集中荷重P(N)を受ける場合を考えています。

ここで、ピアノ線を細くすればするほど物体は剥離せずにピアノ線が撓る感覚があるのですが他端の断面上の最大応力σを材料力学の本で調べると

σ=(P×L)/((π×r^3)/32)

式を見るとピアノ線の直径rが小さくなればなるほど他端の断面上の最大応力σ(N/mm^2)は大きくなってしまい物体は剥離してしまう方向にいくのでは・・・

[例]
荷重P=1[N],長さL=100[mm],直径1[mm]の場合
断面係数0.0982(mm^3)
曲げモーメント100(Nmm)

最大応力σ=100/0.0982=1018.59(N/mm^2)
ピアノ線の断面積×最大応力＝800(N)

粘着力F(1kgf/cm^2)は0.09806(N/mm^2)で縦,横x=10(mm)とすると
0.09806×10×10＝9.806(N)

上向きの最大応力と下向きの粘着力とを比較すると約81倍も差が・・・
しかし、直径１(mm)のピアノ線は撓って物体を剥離しないような感覚があるのですが考え方や式が間違っているのでしょうか・・・

なにとぞアドバイス宜しくお願い致します。

回答No.3

noname#230359 · ベストアンサー

パウロさんがイメージされているのは，

|← x →|← L →|
______________ ↑P
|______________|--------
(A)

のような感じですよね？
私が上に描いた絵(下手ですが)が正しいとします。

まず(A)を支点として，ピーリングするのに必要なモーメントMpを考えると，

　Mp = (Mg・x + Fx^2・x)/2 = (Mgx + Fx^3)/2　・・・(1)

ここでh=1cmとして，(1)式にx=100 mm，F=1 kgf/cm^2，g=9.8 m/s^2，密度ρ=7.85 g/cm^3(鉄) を代入すれば，

　Mp = 49384.65 [N・mm]　・・・(2)

つまり，(2)以上のモーメントを掛けないと，正方形の鉄はピーリングされないことになります。

また，この正方形の断面二次モーメントIbは，

　Ib=(x・h^3)/12 = (100・10^3)/12 = 8333.33 [mm^4]　・・・(3)

ピアノ線の断面二次モーメントIpは，

　Ip = πd^4/64 = 3.14・1^4/64 = 0.0490625 [mm^4]　・・・(4)

ピアノ線と鉄のヤング率がほぼ同じと仮定すると，(3)と(4)の比で曲げ方向の剛性が比較できますから，

　Ib / Ip = 1.7×10^5 [倍]

になります。

したがって，正方形ブロックとピアノ線には圧倒的な曲げ剛性の差があり，ピアノ線の先端に力を掛けてピーリングしようとしても，ピアノ線が先に曲がってしまいます。このことから，ピアノ線を細くすればするほど不利になることがおわかりかと思います。
1mmのピアノ線に(2)のモーメントを掛けたら，一発で曲がってしまいますよね。

お礼

>mina様
お忙しい中、ご検討誠にありがとうございました。
まさにその図の通りです。

＞Mp = (Mg・x + Fx^2・x)/2

の式は冶具の重心とFが真ん中であるので2で割っているのですよね？

曲げ方向の剛性の比較も非常にわかりやすくて参考にさせて頂きました。
的確なアドバイスのおかげで次のステップへ進めていけそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#230359

又は
　　　　 ○￣￣￣⇒ 引張り　　　￣￣￣￣○
　　　　│　　　　　　　　　　　　　　　 │
　　　　│　　　　　　　　　　　　　　　 │
　　　　│　　　　　　　　　　　　　　　 │
　　┌─亠─┐　　　　　　　　　　　　　 │
　　│正方形│　　　　　　　　　　　　　 ↓
　　│物体　│　　　　　　　　　　　　　引張り
　　└───┘ ← 接着
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

の仕様なら、ピアノ線には張力しか発生しません。
φ1mmのピアノ線に、800Nのモーメントを掛ける/計算をするはＮＧ。
<曲げ許容応力計算も>

ピアノ線の張力は、（ピアノ線の断面積）×（引張り許容応力）で求め

（π/4×φ1×φ1）×（1520N/mm2÷3）≒ 400N
SWP-A伸線のまま；耐力1520N/mm2、テストなので安全率；3（静荷重で）

（π/4×φ1×φ1）×（2411N/mm2÷3）≒ 631N
SWP-B低温焼きなまし；耐力2411N/mm2、安全率；3（静荷重で）

ピアノ線が永久変形するまでの荷重は、安全率が１なので、
例えば、（π/4×φ1×φ1）×（1520N/mm2÷1）≒ 1200N となる

以下が、ピアノ線（SWP）の機械的性質用です。
http://www.n-seisen.co.jp/develop/herculee.html

貴殿の記述の、許容応力が小さくなるは、問題無しです。
材料の降伏点（耐力）に対して、計算値の応力が小さいと、
降伏点（耐力）N/mm2 ＝ 計算値の応力N/mm2 × 安全率 にて、
安全率が大きくなり、永久変形に対してのマージンが高くなります。

通常、梁に対してのピアノ線の使用方法は、

　　　　　　　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　　　　　　 /┃
　　　　　　　　　　　　　　/ ┃
　　　　　　　　　　　　　 /　┃
　　　　　　　ピアノ線 → /　 ┃壁
　　　　　　　　　　　　 /　　┃面
　　　　　　　　　　　　/　　 ┃
　　　　　　　　　━━━━━━┃
　　　　　　　　　　　横梁
の様に張力で使用します。<特にφ1mmでは>

お礼

＞後の先、アフターユー様
お忙しい中、ご検討頂きましてありがとうございます。

実は材料力学は大学で専攻していなかったので手当たり次第本を漁って
都合の良いモデルを引っ張り出してきたので基礎となる土台が理解不足でした。
この回答を元に実験を行う時の冶具とピアノ線がどの程度までなら実験可能範囲なのかを考慮していきたいと思います。

追記での梁に対してのピアノ線の使用方法はとても参考になりました。
今後の研究に役立てていきたいと思います。
アドバイスありがとうございました。

回答No.1

noname#230359

＞ピアノ線の断面積×最大応力＝800(N)

ピアノ線は曲げモーメントを受けていますから，応力分布は一様ではありません。撓んだ内側は圧縮応力，外側は引っ張り応力を受けています。従って，最大応力と断面積を掛けた値(800N）は，引きはがしの力を代表する値ではないということになると思います。

引きはがしを考えるのは，あくまでもモーメントの100Nmです。
正確には，ピアノ線の撓みが少ないことと，正方形の物体の大きさも腕の長さに加える必要がありそうですが。

お礼

ohkawa様
お忙しい中、ご検討頂きありがとうございました。
引き剥がしを考えるのは力×距離のモーメントと考えていたのですが
ピアノ線の直径が異なれば撓り方も変わり、物体にかかる力も異なって
いくので・・・と思い応力の分野に手を出していました。

モーメントで考えると剥離し始めるであろう正方形の端を支点として考える
べきでしょうか？