台車のストッパー強度計算について教えてください

質問

レールの上を通る台車が、レール外に飛び出さないよう
ストッパーを付けようと考えています。
このストッパーの強度計算について教えてください。
※3点質問がありますので分かるものだけでも教えてください

＜質問1＞せん断応力の求め方について

　　長さL【mm】、断面積y*t【mm^2】の板（片持ちハリ）の
　　表面積x*y【mm^2】の範囲に力F【kgf】が加わるとき
　　その力が加わっている部位での最大せん断応力は
　　F/（x*y）【kgf/mm^2】でよいでしょうか？
　　Fの加わる表面積x*yには関わらないでしょうか？

＜質問2＞衝撃荷重の安全率の考え方

　　重量M【kg】の台車、仮定最大速度V【m/s】とすると

　　　(1)MV - MV' = Ft　より台車が止まるまでの時間t【s】を
　　　　　考慮して衝撃時の荷重を求める。
　　　(2)計算したせん断応力、曲げ応力に安全率１５をかける
　　　　　（インターネット調査、衝撃に対する安全率の値）
　　　(3)許容応力の「一定の大きさの力が一定方向に働くとき」
　　　　　の値にさらに衝撃を考慮し1/2をかける
　　　　　（インターネット調査、鋳鉄の曲げなら420/2）

　　のようにあらゆる部位で衝突を考慮しています。
　　当然(1)～(3)全てを考慮すれば十分なのだと思いますが。

　　　『(1)で衝撃を考慮すれば安全率は15も必要ない』
　　　『(2)で安全率15をかけるのであれば(1)の荷重はM【kg】でよい』
　　　『(1)(2)を考えれば(3)は1/2をかける必要はない』
　　　『そもそも鋳鉄の許容応力420/2に既に安全率15がかかっている』

　　など、どの条件が必須となるのか教えてください。

＜質問3＞衝突荷重時のkg→kgfの考え方

　　重量M【kg】の台車が衝突する時の単位の考え方について
　　正しいのはM【kgf】またはM/9.8【kgf】のどちらになるでしょうか？

回答No.6

foomufoomu · ベストアンサー

>私の導出した式
>【せん断】9Emv^2a^2/(16σs^2) ≦ ｙH^3/t -(11)
>【曲げ】9Emv^2a^2/(σb'^2) ≦ ｙtH -(16)
>これより、
>・Hが長くなるほどせん断にも曲げにも強くなる（？）
>・ｔ（厚み）が増せばせん断に弱く（？）、曲げに強くなる
>　→板厚は薄すぎても厚過ぎてもいけない
>これは現象として正しいことでしょうか？

正しいとも正しくないともいえます。この結論は、極端な条件下では成立するけれど、現実的なものとはいえないからです。

あと、まだ考慮していない条件として、せん断によるばね係数があります。
これは
K2 = A*G/(1.2*H) (A=y*t, G:せん断弾性係数　鋼の場合は80000N/mm2 )
で算定できます。「板」という感じの形なら曲げで決まりますが、厚みが増して「ブロック」という感じの形になるとせん断で決まるようになり、K2の影響が無視できません。
曲げによるばね係数（既出の式）をK1とすると、曲げ、せんだんとも考慮したばね係数Kは
1/K = 1/K1 + 1/k2
で算定できます。

また、ブロックという形になってくると、ブロックの持つ質量の影響も無視できなくなってきます。
さらに、鋼のような完全弾性体に近い材料、でない材料で作る場合は、材料が持つ粘性も問題になってきます。
これらすべてを考慮してとなると、
m*x'' + c*x' + K*x = F ('は時間微分を表す。ｃは粘性係数。Fは外部から作用する力で今回は０)
この２階微分方程式を、台車とブロックについて連立的に解かなければなりません。

こういう計算をするときは、早いうちから実際の数値を入れて現実的に考えないと、無駄な手間をかけるだけに終わってしまいますよ。
思うに、ストッパーはぶつかったら曲がってしまうように薄い板でつくるか、本格的なバネを使うか、など考えたほうがよいのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
鋼のブロックに近い形と言えそうなので、
一先ずせん断のばね係数も考慮して計算していきます。

長々とお付き合いいただきありがとうございました。
丁寧に教えていただき嬉しかったです。

強度計算、難しいですね。

まだストッパの製作は完了していませんが、一時質問は締めます。
今後、製作していく上でまた質問を立ち上げさせてもらうかも
しれません。その時はまたよろしくお願いします。

回答No.5

foomufoomu

> 9Emv^2a^2/(σb^2) = 7.52e「8」
> となり、判定はＮＧとなります。
ああ、そこで間違えていましたか ^^;

で、話の続きですが、前の個別に計算した中で、

> F=1000*√(4.17e4*10)=6.46e5 [N]
衝撃力が646kN ≒ 65 tonf　というのは、異常な値なので、仮定条件（鋼板を使う）に問題あるのでは？
鋼はコンクリートの10倍 剛性が高いですから、28mmの鋼板は280mmのコンクリートに相当するので(曲げで決まるのでそれほど単純でもないですが)、当然の結果かもしれません。

補足

実際には
m=2000kg
v=3km/h=0.83mm/s
という値です。といってFが十分小さくなるわけではありませんが。

ここまでお付き合いいただきありがとうございます。
もし分かれば下記の内容についても教えてください。

私の導出した式
【せん断】9Emv^2a^2/(16σs^2) ≦ ｙH^3/t -(11)
【曲げ】9Emv^2a^2/(σb'^2) ≦ ｙtH -(16)

これより、
・Hが長くなるほどせん断にも曲げにも強くなる（？）
・ｔ（厚み）が増せばせん断に弱く（？）、曲げに強くなる
　→板厚は薄すぎても厚過ぎてもいけない

これは現象として正しいことでしょうか？

回答No.4

foomufoomu

少し現実的な計算をしてみましょう。

m=10 kg
v=1m/s=1000mm/s
E=205000 N/mm2
y=1000 mm
t=28 mm
H=300 mm
σb=235 N/mm
a=1.5
と、仮定すると、

曲げ
9Emv^2a^2/(σb^2) = 7.52e6
ytH = 8.40e6
せん断
9Emv^2a^2/(16σs^2) = 1.42e8
yH^3/t = 9.64e8
曲げはぎりぎりOK、せん断は7倍の余裕でOK

今度は、個別に数字を出してみます。
I=1000*28^3/12=1.83e6 [mm4]
k=3*205000*1.83e6/300^3=4.17e4 [N/mm]
F=1000*√(4.17e4*10)=6.46e5 [N]
Z=1000*28^2/6=1.31e5
σb=6.46e5*300/1.31e5 = 1478N/mm2　＞　235/1.5 NG

前と結果が合いませが、どこが違っているのでしょうか？？？

補足

返答遅くなり申し訳ありません。
質問の意図に沿う回答になっているか自信ありませんが、

私のたてた曲げの式、左辺に
仮定していただいた値を代入した値は

9Emv^2a^2/(σb^2) = 7.52e「8」

となり、判定はＮＧとなります。

回答No.3

foomufoomu

はじめに、回答1の式に一部間違いがありました。
＞σb = M / Z = (F * H)/( 1/6 * y * y^3 )
ではなくて
＃σb = M / Z = (F * H)/( 1/6 * y * t^2 )
が、正しかったです。（最後の y^3 が t^2 )

補足に書かれた式の導出過程がわかりませんが、衝突時の力をFとすると
【曲げ】
M / Z ≦ 曲げ強度　なら安全　(M=F*H　Z=1/6 * y * t^2)
【せん断】　
F / A ≦ せん断強度　なら安全　(A=y*t)

鋼(SS400)の場合、曲げ強度は　235 N/mm2 せん断強度は 135 N/mm2 です。SS400はもっともよく使われている鋼です。

板は薄いほうがFは小さくなるので、結果の一部だけを見れば、薄いほうが安全なような答えが出る可能性はあります。しかし、全体で見て判断しないと意味がありません。

補足

ごめんなさい。導出過程を記載します。

台車（物を載せた状態）の重量m、衝突速度ｖ
荷重F、バネ定数ｋ、バネ変形量ｘ
ヤング率E、断面二次モーメントI
ストッパー根元から荷重のかかる位置までの高さH
ストッパー断面ｙ*ｔ

1/2*mv^2 = 1/2*kx^2 -(1)
= 1/2*F^2/ｋ -(2) ∵F = kx -(3)
F = v√(km) -(4)
= v√(3EIm/H^3) -(5)∵K = 3EI/H^3 -(6)
= v/2√(Emyt^3/H^3) -(7) ∵I = yt^3/12 -(8)

せん断強度σs、安全率a
3/2*F/(y*t) ≦ σs/a -(9)
9/4*v^2/4*Emyt^3/(H^3y^2t^2) ≦ σs^2/a^2 -(10)
9Emv^2a^2/(16σs^2) ≦ ｙH^3/t -(11)

曲げ強度σb、断面係数Z
FH/Z ≦ σb/a -(12)
6FH/yt^2 ≦ σb/a -(13) ∵Z = yt^2/6 -(14)
36/4*H^2/v^2*Emyt^3/(H^3y^2t^4) ≦ σb^2/a^2 -(15)
9Emv^2a^2/(σb'^2) ≦ xtH -(16)

式11、式16より
Hが長くなるほどせん断にも曲げにも強くなる（？）
ｔ（厚み）が増せばせん断に弱く（？）、曲げに強くなる

となりました。

回答No.2

foomufoomu

＞質問2の(1)衝撃の荷重について、ばね定数Kは　
＞片持ちはりのバネ定数の式　K=3EI/L^3
＞をそのまま使えばよいのでしょうか。
それでよいです。

＞質問2の(2)(3)については下記のHP－URLを参考にさせていただいています。
＞これより衝突時の許容応力・安全率をどう取ればよいかを悩んでいます。
安全率について書かれたURLをみると、かなり広範囲の材料を含めて、材料の状態・加工方法も含めて、最悪の条件で書いているようです。また、「衝撃」は、今回のような「衝突」を想定したものではありません。ほとんど動かない状態でガタガタ揺れる程度のことを言っています。

私が設計するなら、
板の材料には、鋼のような十分ねばりのある材料を選び、
材料強度としては降伏強度（疲労の可能性があればそれも考慮）を採用し、
断面寸法 ｔ＊ｙは、ボルトの穴、さび、などの欠損を考えた断面寸法で計算し、
応力集中の少ない形状（するどい切り欠きがない）とし、
溶接やボルト箇所で破断しない(最大強度を超えない)ように断面を選び、
台車に乗せられる最大の重量を考慮し、

そのうえで、
直接人命にかかわるもの　２～３倍
そうでないもの　１.１～１．５倍
程度の安全率をみるでしょう。つまり、安全率ですべて処理するのでなく、まず、安全な形を作っておくことが重要と考えます。

お礼

安全率に関して了解しました。
アドバイスいただいた観点で材質、形状検討していきます。
その上で安全率を考慮していきたいと思います。

ありがとうございました。

補足

追加回答ありがとうございます。

元の質問外の内容になってしまいますがよろしければ教えてください。
ストッパー断面をｘ*ｔ、ストッパー根元から荷重のかかる位置までの高さをH
台車（物を載せた状態）の重量をm、衝突速度をｖ、ヤング率E
許容応力をσs'、σb'として、式をたてたところ、
（最大せん断応力度≦σs'/a、最大曲げ応力度≦σb'/a）

【曲げ】
　9Emv^2a^2/(Hσb'^2)　≦　xt　－(1)

【せん断（念のため）】　
　9Emv^2a^2/(16H^3σs'^2)　≦　x/t　－(2)

となりました。
(1)に関してはxとｔを大きくすれば曲げに強くなることで納得がいくのですが、
(2)に関しては板厚tが大きくなればせん断に弱くなる結果になりました。
これは計算や式設定を間違えているためか、
またはせん断の性質上正しいことなのかどちらでしょうか。

何から何まで質問していて申し訳ありませんが、
よろしくお願いします。

回答No.1

foomufoomu

ストッパーがどのような目的のものなのか（どのように力がかかるのか）不明ですが、
とりあえず、板が立っていて、その正面から衝突するものとして、

>その力が加わっている部位での最大せん断応力は
>F/（x*y）【kgf/mm^2】でよいでしょうか？
板が長方形断面だとすると、最大せん断応力度σs（質問は「度」を書き忘れたと思います）は
1.5*力÷断面積　ですから、
σs = 1.5*F/(y*t)
です。しかし、おそらく「板」と書いてあるので、薄い側に曲げるように衝突するのではないかと思います。この場合はせん断より曲げ破壊が先行するはずなので、曲げ応力度
σb = M / Z = (F * H)/( 1/6 * y * y^3 )
（Hは力のかかる位置の板根元からの高さ、Zは断面係数）
http://www.geocities.jp/iamvocu/Technology/kousiki/kousiki-kouzouhari/kousikikouzouhari-01-01.html
http://oshiete1.nifty.com/answer/new
で算定しなければなりません。

>Fの加わる表面積x*yには関わらないでしょうか？
たいへん大きな板の一部に力がかかるのでなければ、（板全体に力が伝わるなら）x*yは無関係です。

>(1)MV - MV' = Ft　より台車が止まるまでの時間t【s】を
>　　　　　考慮して衝撃時の荷重を求める。
なぜ、みんな、衝突というと、「時間」を指定するのでしょうか？
そんなものが正確に（せめて2倍以内の誤差で）わかるというのでしょうか？

衝突時の最大荷重を知りたければ、
運動エネルギー = 1/2 * m * v^2
衝突時に板が吸収するエネルギー　= F * δ
（δは板の変形可能な量[m] です。）
この２つを等しいものとして、F を計算すればよいです。
これからわかるように、ガラスのように変形可能量が小さい材料では F が大きくなります。

ただし、この式は、「板は一度ぶつかると、大きく変形して使えなくなってもよい。」という条件の場合です。何度もくりかえしぶつかるなら、「衝突時に板が吸収するエネルギー」　の代わりに

衝突時に板がばね変形するときのエネルギー　= 1/2 * K * x^2 = 1/2 * F^2 / K
（Kはばね係数、ｘは最大のばね変形量）
を使います。

>『(1)で衝撃を考慮すれば安全率は15も必要ない』
安全率には、普通、材料の強度のばらつき、材料の疲労による強度低下、衝撃の係数などは含めません。（それぞれ、材料強度、衝撃力の式で考慮してあって、そのうえで「何倍安全」かを考える）
したがって安全率１５というのは大きすぎる気がします。どのような条件での安全率を言っているのでしょうか。

＞正しいのはM【kgf】またはM/9.8【kgf】のどちらになるでしょうか？
計算で使う単位系を「重力単位系」、「SI単位系」のどちらにするかで違ってきます。もっと具体的にいえば、材料強度やヤング率として、kgf/cm2 を使うのか、N/mm2 をつかうのかの違いです。
重力単位系を使う場合は、
　m = M/G　（Gは重力加速度 9.8[m/sec^2]） で、重量を質量に直さないといけません。
（私の式は 質量m で書いています。）
SI単位系の場合は、kgはもともと質量の意味なので、Gで割る必要はありません。

お礼

素早く詳しい回答ありがとうございます。
質問1・質問3について解決しました。
質問2の(1)については今から計算してみます。

説明不足がありましたが、概ね想定していただいた通りの構造です。
質問2の(2)(3)については下記のHP－URLを参考にさせていただいています。
　http://kousyoudesignco.dip.jp/ZAIRIKI-ANZEN.html
　http://www.yamazaki-bm.com/data/ouryoku.htm#許容応力
これより衝突時の許容応力・安全率をどう取ればよいかを悩んでいます。

補足

質問2の(1)衝撃の荷重について、ばね定数Kは　
片持ちはりのバネ定数の式　K=3EI/L^3
をそのまま使えばよいのでしょうか。