- 締切済み
細かいことですが、、、
kiyos06の回答
- kiyos06
- ベストアンサー率82% (64/78)
>定義で書き起こした式のh,のように, tでない記号でなければいけないと思います 1)はい、別の式だから、別の変数にするべきでしょう。 >証明のf(x+te)は定義で使ったg(t)=f(a+te)のf(a+te)を使ったもの 2)こっちは、同じ式なので、a =xの時と考えればokじゃないですか?
関連するQ&A
- 微分 可能 について
微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h これを変形すると、 lim[h→0](f(a+h)-f(a))=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h=lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0](|0-t|-|0|)/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h≠lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の微分の証明
合成関数の微分の証明についての質問ですが、”やさしく学べる微分積分”には以下のような式変形を経て証明しています。 g(u+k)-g(u)/k = g'(u)+O(k) (lim k→0 O(k)=0) g(u+k)-g(u) = k{g'(u)+O(k)} この式は、k=0のときも成立しkはどんな値でも良いため、 k=f(x+h)-f(x) とおけ、f(x+h)=f(x)+k,u=f(x) ゆえに、 lim g(f(x+h))-g(f(x))/h=lim g(f(x)+k)-g(f(x))/h =lim g(u+k)-g(u)/h=lim k{g'(u)+O(k)}/h =lim f(x+h)-f(x)/h ・k{g'(u)+O(k)} f(x)は微分可能で連続。ゆえにh→0 k→0 したがって、極限値は存在し、 =f'(x){g'(u)+0}=f'(x)g'(x) ゆえに、y'=g'(x)f'(x) が成立する。 とあります。 私には、結局はf(x+h)=f(x)+k と置けて、コーシーの平均値の定理のように、平均値の定理のx軸をf(x)軸つまりはu軸のように考えて、 f(x)=uの置き換えをすれば、f(x+h)=u+kとおけ、今までの微分計算と同様に計算できるというふうにしか読めません^^; でも、どうもg(u+k)-g(u) = k{g'(u)+O(k)}の式に 線形性なのかなんなのか、特別な関係を示す意味があるような気がするのですが、どなたか解説していただけませんでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の微分公式について
すいません。 なんども。 もうひとつおねがいします。 困っています。 u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき, 合成関数も微分可能であり、土の式が成り立ちます。 y=g{f(x)}=g・f(x) dy/dx=dy/du・du/dx または y'=g'(u)・f'(x) これを、証明するには、 du/dx= lim f(x+h)-f(x)/h , h→0 dy/du= lim g(u+k)-g(u)/h h→0 ここで、k=f(x+h)-f(x)とおくと、kキ0のとき dy/dx=[g(f(x))]' =lim g(f(x+h))-g(f(x))/h まではわかるのですが、 =lim g{f(x+h)}-g{f(x)}/{f(x+h)-f(x)} ・{f(x+h)-f(x)}/h はどのうに現れるのでしょうか? できれば、途中計算がほしいです。 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数{f(g(x))}の微分についての次の証明は、厳密に言うと間違
合成関数{f(g(x))}の微分についての次の証明は、厳密に言うと間違っているらしいです。 どこがおかしいのか教えてください。 lim(h→0) f(g(x+h))-f(g(x))/h =lim(h→0) f(g(x+h))-f(g(x))/g(x+h)-g(x)・g(x+h)-g(x)/h ここでg(x)=t、g(x+h)=t+sとおくと、s=g(x+h)-g(x)だから h→0のときs→0である。よって lim(s→0) f(t+s)-f(t)/s・lim(h→0) g(x+h)-g(x)/h =f´(t)g´(x)=f´(g(x))g´(x)
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分の問題
数学の問題がわかりません。 だれかアドバイスお願いします。 問1 次の極限値を求めよ。 (1) lim[x→π/2](1-(sinx)^3)/(1-sinx) 問2 次の片側極限値を求めよ。 (2) lim[x→-0]x/|x| (3) lim[x→-1+0]x/(x+1) 問3 次の極限値を求めよ (4) lim[h→0](1-e^(ah))/(h+ah^2) (a≠0) (5) lim[x→0]e^x-e^(-x)/x 問4 (6) 3次方程式 f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0は少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。 問5 次の関数はx=0で微分可能であるか? (7) f(x)=|x(x-2)| (8) f(x)=|x^3| 問6 次の関数のx=1における微分係数を定義に従って求めよ。 (9) y=x^2+2 問7 次の導関数を定義に従って求めよ。 (10) y=x^2+2 わかる範囲での自分の考え (1) x-π/2=tとおいてこの問いを解く (9)と(10) f'=(f(x+h)-f(x))/hの方法で解く。この2題は考え方が同じになってしまうのですが、これでいいのでしょか? あとは、よくわかりません。 わかる方、教えてください。 お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数方程式 恒等式型
関数f(x)はすべての実数x,yに対してf(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^xを満たし、さらにx=0では微分可能でf'(0)=1とする。 (1)f(0)を求めよ。 (2)lim【h→0】f(h)/hを求めよ。 (3)関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを、微分の定義にしたがって示せ。さらにf'(x)をf(x)を用いて 表せ。 (4)関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算して関数f(x)を求めよ。 すみませんが、お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明 極限を使ったeの表示
教科書にlim[h→0](1+h)^1/h=eの証明がのっていたのですが 分からないところがあるので教えて下さい。 [証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分定数は1である。 したがって,微分係数の定義式から lim[h→0]log(1+h)-log1 /h=1 左辺を変形して lim[h→0]1/h log(1+h)=lim[h→0]log(1+h)^1/h=1 また 1/h=x すなわち h=1/x とおくと,x→±∞のときh→0であるから lim[x→∞](1+1/x)^x =lim[x→-∞](1+1/x)^x =lim[h→0](1+h)^1/h=e この証明の途中までは分かるのですが、「また」というあたりから何をしているのか分かりません。 何故logが無くなったか、もろもろ教えて下さい。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 極限 証明
極限 証明 lim[x→∞](1+(1/x))^x=eの証明はどのようにすれば良いでしょうか? [証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分係数は1である。 したがって,微分係数の定義式から lim[h→0](log(1+h)-log1)/h=1 左辺を変形して lim[h→0](1/h)・(log(1+h))=lim[h→0]log(1+h)^(1/h)=1 また、 1/h=x すなわち h=1/x とおくと,x→±∞のときh→0であるから lim[x→∞](1+1/x)^x =lim[x→-∞](1+1/x)^x =lim[h→0](1+h)^1/h=e また、以下が理解できません・・・ lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか? そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる? logはどこにいったのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- さっき考えついた…公式?について
微分の定義 df(x)/dx=lim_h→0_{f(x+h)-f(x)}/h と、ロピタルの定理 lim_h→0_v(h)/u(h)=lim_h→0_v'(h)/u'(h) を用いて、 ∂f(x)/∂x=lim_h→0_∂f(x+h)/∂h となる。 こういう式が実際に成り立つのか? また、実際に何の役に立つのかを議論していただきたいです。 個人的には、成り立つけど役に立たないと思っています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
>2)こっちは、同じ式なので、a =xの時と考えればokじゃないですか? 表現が正確ではなかったですね。 証明のf(x+te)のtと,定義で使ったg(t)=f(a+te)のtが同じものだと勘違いを起こしそうです. の間違いです