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シムソンの定理拡張ターナー | 証明を教えてください
jcpmuturaの回答
|OB|^2=|OP||OQ|よってOBは円BPQに接するゆえに、∠OBP=∠OQB・・・(1)。 ↓BをCへ,(1)を(1')へ,置き換えると ↓ |OC|^2=|OP||OQ|よってOCは円CPQに接するゆえに、∠OCP=∠OQC・・・(1')。 線分PQと円Oとの交点Sとすると、 OB=OSから∠OBS=∠OSB・・・(2) ↓BをCへ,(2)を(2')へ,置き換えると ↓ OC=OSから∠OCS=∠OSC・・・(2') (2)-(1)から、 ∠OBS-∠OBP=∠OSB-∠OQB よって∠PBS=∠QBS・・・(3) ↓BをCへ,(1)(2)(3)を(1')(2')(3')へ,置き換えると ↓ (2')-(1')から、 ∠OCS-∠OCP=∠OSC-∠OQC よって∠PCS=∠QCS・・・(3') 点NはABに関する点Pの対称点であるから ∠NBA=∠PBA、BN=BPよって ↓NをMへ,BをCへ,置き換えると ↓ 点MはACに関する点Pの対称点であるから ∠MCA=∠PCA、CM=CPよって ∠QBN=∠PBQ+∠PBN=2∠PBS+2∠PBA=2(∠PBS+∠PBA)=2∠SBAつまり ∠QBN=2∠SBA ↓NをMへ,BをCへ,置き換えると ↓ ∠QCM=∠PCQ+∠PCM=2∠PCS+2∠PCA=2(∠PCS+∠PCA)=2∠SCAつまり ∠QCM=2∠SCA ↓∠QCMを360°-∠QCMへ ↓∠PCMを360°-∠PCMへ ↓ 360°-∠QCM=∠PCQ+360°-∠PCM=2∠PCS+2∠PCA=2(∠PCS+∠PCA)=2∠SCAつまり 360°-∠QCM=2∠SCA ↓両辺に∠QCM-2∠SCAを加え左右を入れ替えると ∠QCM=360°-2∠SCA ∠QCM=2(180°-∠SCA) ↓180°-∠SCA=∠SCYだから ∴ ∠QCM=2∠SCY
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