- 締切済み
背理法について
kony0の回答
- kony0
- ベストアンサー率36% (175/474)
「なぜaを3k,3k+1,3k+2とあらわすのか」という問いの答えは、皆さんがすでに書かれていて、端的には ・#3さんのいう「すべての整数は次のＡ，Ｂ，Ｃの3通りに分類できるから」であり、 ・#5さんのいう「a=1,2,...と代入してもキリが無いがa=3k+1とすると，aは3で割って1余る数，つまり，1,4,7,10…のように3で割って1余る数全てについて議論したことになる」 は疑いありません。 そもそも「なぜ整数を“３で割り切れるもの”“３で割って１余るもの”“３で割って２余るもの”の３つのグループに分けるのかの議論が今ひとつ欠けているようです。 こういうときはまず実験。 a=1,2,3,...と順に代入していくと a^2=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,... a^2を3で割った余り=1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,... となり、a^2を3で割った余りは ・「1,1,0」の周期性がある ・aが3の倍数のときは余り0、aが3の倍数でないときは余り1 である“だろう”と推測できます。 ここで、#5さんのいうとおり、これだけでは「すべての整数について証明したことにはなりません」（これはもう理解できてますか？） じゃあどうやって「すべての整数について」証明するんだい！というと・・・先ほどの推測から i)3の倍数のときは・・・ ii)3の倍数でないときは・・・ と考え方のシナリオを構築するのです。 （たとえ“知識”がなくとも“知恵”と洞察力をもって行き着くべし。こういう洞察力を養うことが、数学のお勉強が社会に出て役に立つところですから！） さらに、「3の倍数でない」整数というものをさらに細分化させたものが「3で割って1余る」「2余る」というグループ分けに繋がります。 と言うことで問題。 (1)3の倍数を2乗した値を3で割った余りは0であることを示せ。 (2)3で割って1余る数を2乗した値を3で割った余りは1であることを示せ。 (3)3で割って2余る数を2乗した値を3で割った余りは1であることを示せ。 (4)平方数を3で割った余りは2にならないことを示せ。 (4)だけ回答。 「(1)～(3)より、題意は示せた。」 つまり、(4)だけを与えられたときに、自分で(1)～(3)の小問を作ることが必要なわけです。この小問が作れれば、あとはどうやって文字式を使って証明するかの問題にすぎません。そしてここではじめてa=3k+1やa=3k+2というものが出現するわけです。
関連するQ&A
- 背理法を用いた、整数問題の証明
a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち、少なくとも１つは３の倍数であることを証明せよ。 という問題について質問します。 a,bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数）とおく。 a^2=3(3n^2+2n)+1 b^2=3(3m^2+2m)+1 ただし、3n^2+2n,3m^2+2mは整数。 よってa^2,b^2を３で割った余りはともに1である。 ※ a^2+b^2=3(3n^2+2n)+1+3(3m^2+2m)+1 =3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2 3n^2+2n+3m^2+2mは整数である。 したがって、a^2+b^2を３で割った余りは２である。 一方、cが3の倍数のとき、c^2は3で割り切れ、 cが3の倍数でないとき、c^2を3で割った余りは1である。 すなわちc^2を3で割った余りは0か1である。 ※ よって、a^2+b^2=c^2において、 左辺は3で割ったときの余りが２、右辺は3で割ったときの余りが0か1 であるから矛盾する。 ゆえに、背理法よりa^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数である。 このように解答したのですが、※と※の間の部分に対して数学の先生から、不十分というコメントを書かれてしまいました。 どこが不十分なのか分かる方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法の問題なのですが
a、b、cを自然数にするとき次の事を示せ。 (1)aが３の倍数でないならばa^-1は３の倍数である。 (2)a^2+b^2=c^2ならばa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。 (1)はわかりました。 (2)は解説を読んでもよくわかりません。 [解説] a,bともに３の倍数でないと仮定する。 (1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり矛盾するからa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。 ＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 ＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり (1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。 あと何故ｃ^2を３でわると余りは0か1になるのでしょうか？ 数字を代入してみるとそのとおりなのはよくわかるのですが・・。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法について
「a^2+b^2=c^3ならば、a、b、cのうち少なくとも1つは偶数である」 (pならばq) という命題を証明するために背理法を使います。 すると 「a^2+b^2=c^3という条件のもとで a、b、cはすべて奇数である」(pかつ￢q)と仮定することになると思います。 この仮定に矛盾が生じれば背理法が成立しますが この仮定に矛盾が生じるのは 「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (￢qならば￢p)が証明されたときだけなのでしょうか？ まだ論理について勉強しはじめたばかりで記号があまり理解できないので 記号は使わずに説明していただけると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法について
次の命題を考えます n^2が偶数⇒nは偶数 「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、 矛盾を導く。 今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる。(２k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。 よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。 よって命題はただしい。（方針はこれでお願いします）」 ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。 2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？） これはどこがいけないのでしょうか。 一般のnが証明できたからn＝２の時も成り立つのではないのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法について
今、学校の数学で背理法というのをやっているのですが、はっきり言って高校でやったきた問題の中で一番難しいというほど困っています。一応説明では「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。したがって、その命題が成り立たなければならない」という説明なのですがだいたい言っている意味はわかります。でも、実際に使って問題を解いてみると全くと言っていいほどできません(汗 仮定したあとに文字が出てきてそれを2乗したりなどなど… 背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが実際に使ってみると全然できなくて…途中の文字を用いて証明するところなど「どうしてこうなるの？」みたいなところばかりで全然前に進みません。 例えば、「自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすならばa,b,cのなかに必ず偶数があることを背理法を用いて説明せよ」とい問題なのですが、解答を見ると、a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cがすべて奇数であると仮定すると、とあります。 どうもこのあたりの否定の置き方というのがよくわからないのです。必ず偶数がある、というのがすべて奇数であるになるのがさっぱりです。この辺りは国語的なものかもしれないのですが、このあたりでかなり苦戦しています。どなたか背理法を説明していただける方などおられましたらご回答お願いできないでしょうか？よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 背理法
背理法について質問です。「ある命題Ａを仮定して矛盾がでてきた」ときＡでないと結論できるのはなぜでしょうか？ まず問題の体系が無矛盾であることはどこで保証されるのでしょうか？（不完全性定理で無矛盾な体系ではその無矛盾性は証明できないというのを聞いたことがありますが…）さらにその体系が無矛盾だとわかっても「無矛盾な体系内で、仮定した命題から矛盾がでてきた」ことと「問題にしている体系が無矛盾である」ことの間にできた新たな（より高次な）矛盾に対して先ほどと同様の問題につきあたってしまうと思うのですが。（ つまり背理法で「Ａから矛盾ができた」→「Ａでない」が正しいことを保証するのに「Ａの体系の無矛盾」（←aとする）を言っても今度は「Ａによりその体系で矛盾がでてきた」ことはaに矛盾する→「Ａでない」としてしまうと→のところで検証してない背理法をつかってしまっていることになる）以上の疑問を解決したいので回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数