数学 よく分からない問題があります

質問

数学で次の時間の予習をしていたのですが、次のような問題の解き方が分かりません。(1)でも教えて頂ければ助かります。お願いいたします。ちなみに答えも載っていないため、答えまで出来たらお願いいたします。

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回答No.1

f272 · ベストアンサー

x=r*cosθ
y=r*sinθ
というように極座標変換をすると
(1)はxy/(x^2-y^2)=r^2*sinθcosθ/(r^2*(cosθ)^2-(sinθ)^2)=(1/2)tan(2θ)
(2)はxy/√(x^2+y^2)=r^2*sinθcosθ
となります。(x,y)→(0,0)はr→0ということですから
(1)は(1/2)tan(2θ)→θによって異なる。つまり極限値は存在しない。
(2)はr^2*sinθcosθ→0

お礼

大変分かりやすい解答でした。参考にします！

回答No.2

info33

(1) L=lim[(x,y)→(0,0)] xy/(x^2-y^2)
L=lim[x=2y,y→0] 2y^2/(3y^2)= 2/3
L=lim[x= -2y,y→0] -2y^2/(3 y^2)= -2/3
(x,y)→(0,0)の近づき方により収束値が異なるから,
極限値は存在しない (収束しない)。...(Ans.)

(2) L=lim[(x,y)→(0,0) xy/√(x^2+y^2)
=lim[x→0] lim[y→0] xy/√(x^2+y^2)
=lim[x→0] 0/√(x^2+0)
=lim[x→0] 0
= 0 ... (Ans.)

お礼

ありがとうございました！