数学 2重積分

質問

画像の問題の(1)からの問題ですが、次の授業の予習で勉強していたのですが、いまいちよく分かりません。例題も解き方も載っていない教科書なので、答えまでの解き方を分かりやすく教えて頂けると大変助かります。(1)だけで大丈夫です。ちなみに、答えは、(1)e^4/2-e^2となります。
お願いいたします。

回答No.2

info33

>(1)だけで大丈夫です。ちなみに、
>答えは、(1)e^4/2-e^2となります。

この答えは間違いですね。

1) f(x,y)=x^2+y^2, D={(x,y)| x>=0, y>=0, x+y<=1 }
I= ∫[0~1] {∫[0~(1-x)]f(x,y)dy}dx
= ∫[0~1] {∫[0~(1-x)] (x^2+y^2) dy} dx
= ∫[0~1] {[x^2 y +y^3/3] [0~(1-x)] } dx
= ∫[0~1] {[x^2 (1-x) +(1-x)^3/3] } dx
= ∫[0~1] {(1-x)[3x^2 +(1-x)^2]/3 } dx
= (1/3) ∫[0~1] {(1-x)(4x^2 -2x+1) } dx
= (1/3) ∫[0~1] {4x^2 -2x+1-(4x^3 -2x^2+x) } dx
= (1/3) ∫[0~1] {6x^2 -3x+1-4x^3 } dx
= (1/3) { [2x^3 -3x^2/2 +x -x^4] [0~1] }
= (1/3) { 2 -3/2 +1 -1 }
= 1/6 ... (Ans.)

お礼

いえ、この答えで合ってますよー

回答No.1

noname#232123

積分領域をきちんと図示し、累次積分にかきなおしてください。
1) I=∫[0~1]{∫[0~(1-x)]f(x,y)dy}dx
2) I=∫[0~1/2]{∫[x^2~x/2]f(x,y)dy}dx
3) I=∫[1~3]{∫[1~√x]f(x,y)dy}dx
4) 極座標へ変換
I=∫[0~2pi]{∫[a~b]e^(r^2)*rdr}dφ
5) 4) と同様
I=∫[0~pi/2]{∫[a*cosφ~a]r*rdr}dφ
6) I=∫[0~1]{∫[0~x]f(x,y)dy}dx
7) 十分おおきな正数をＲとし、
I=∫[0~R]{∫[x~R]f(x,y)dy}dx
を計算し、R→∞とする。I=1/8.
------------------
※計算はご自身でしてください。

お礼

ありがとう