方陣算の問題

質問

ご質問させていただきます。

以下の方陣算の問題ですが、解答を読んでも理解できません。
どなたか分かりやすく解説して頂けないでしょうか？

「10円玉を正方形の形に並べようとしたところ22枚足りなかったので、縦、横ともに1列ずつ減らしたところ、9枚余りました。10円玉は全部で何枚ありますか？」
という問題で、解答は234枚なのですが、解説がシンプル過ぎて理解できません。
どなたか丁寧に解説して頂けないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

念のために画像を貼ります。
n行n列から(n+1)行(n+1)列にするには、n + (n + 1) = (2n+1)枚必要であることが
わかるように書いたつもりです。
今回の場合でいうと、n行n列では9枚あまって(n+1)行(n+1)列には22枚足りないとのことですので、
2n + 1 = 31
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
とても良く理解できました。
画像も分かりやすかったです。
私自身は良く理解できたのですが、これを小学校4年生の息子に教えるとなると、なかなか難しい作業になりそうです。
この度はありがとうございました。

回答No.4

noname#231363

まず、大人の（高校生以上の？）考え方は次の通りです。
最初に、縦、横ともに10円玉をn+1枚ずつ並べようとしたとすると、
(n+1)^2-n^2=2n+1=22+9=31（差）
（2n+1=31の式は、他の回答において既出）

小学校4年生のレベルで、2n+1=n+(n+1)と考えることができるかどうかは疑問です。
そこで、上の差31に着目して、おおよその見当を付けます。
8×8=64、9×9＝81，10×10＝100
ここまでは、暗算でできます。
さらに、11×11=121ですが、これを11×(10+1)=11×10+11×1=110+11=121と考えれば、暗算レベルでできますが、考えられなければ、普通に11×11=121と計算すればいいです。

9×9-8×8=81-64=17、10×10-9×9=100-81=19、11×11-10×10=121-100=21
これから、縦、横ともに10円玉の枚数が8→9→10→11と1ずつ増えていくと、差は17→19→21と2ずつ増えていき、(31-17)÷2=14÷2=7であるから、
{(8+7)+1}×{(8+7)+1}-(8+7)×(8+7)=16×16-15×15=31になると予想できます。
そして、実際に計算すると、16×16-15×15=256-225=31になります。
また、さらに検算として、
16×16-22=256-22=234、15×15+9=225+9=234になるので、答えは234枚になります。

※小学校4年生のレベルでは、以上のように考えるのが限界かと思われます。

お礼

大人向けと小学生向けの解答を用意してくださって、ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.3

asuncion

いきなりnなんて持ち出すと確かにわかりづらそうですね。
では、15とか16とかの大きい数よりももっと小さい数、
例えば3とか4あたりではどうでしょうか。
3行3列から4行4列にするには何枚必要？→3 + 4 = 7枚
じゃあ、4行4列から5行5列にするには何枚必要？→4 + 5 = 9枚
じゃあ、5行5列から6行6列にするには何枚必要？→5 + 6 = 11枚
（中略）
じゃあ、15行15列から16行16列にするには何枚必要？→15 + 16 = 31枚
この31枚っていうのが、「22枚足りない」と「9枚あまる」の差であることを
理解していただくとよいのではないかと思います。

お礼

小学生向けの解答も考えてくださって、感謝いたします。
この度はありがとうございました。

回答No.1

asuncion

9枚あまった状態において、n行n列の方陣ができている。
(n+1)行(n+1)列の方陣にするには22枚足りない。
「9枚あまり」と「22枚不足」の差は31枚。
n, n+1という、隣り合わせの数を足すと31。
このとき、nは15。
よって、10円玉の枚数は15 * 15 + 9 = 234枚。