- ベストアンサー
楕円の寸法の関係式を教えてください
- 円Ciと楕円Elがある場合、円Ciは楕円Elの内側で正接し、点Pは円Ciの外にある。
- 円Ciの中心点である点Pは楕円Elの短手軸線上にあり、L2=L2'である。
- 条件下でのL2を表す関係式が知りたい。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
a=e2 b=e1 c=L1 X=L2 p=a+X R=c-X とすると L=R-a-p…(L) 円Ciの中心を原点(0,0)とすると 円の方程式は x^2+y^2=R^2…(Ci) 楕円の中心を(p,0)とすると 楕円の方程式は {(x-p)/a}^2+(y/b)^2=1…(El) 円と楕円の交点を(x,y)とすると (Ci)の両辺からx^2を引くと y^2=R^2-x^2 ↓これを(El)に代入すると {(x-p)/a}^2+(R^2-x^2)/b^2=1 (x^2-2px+p^2)/a^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1 (x/a)^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1 ↓両辺から1を引くと {(1/a)^2-(1/b)^2}x^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-1=0 円と楕円が接するから このxの2次方程式は重根を持つから その判別式D/4=0となるから D/4=(p/a^2)^2-{(1/a)^2-(1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2-1}=0 ↓両辺にa^4b^4をかけると p^2b^4-(b^2-a^2)(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2)=0 a^2(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4)=0 ↓両辺をa^2で割ると b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4=0 ↓両辺にa^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4を加えると b^2p^2=a^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4 b^2p^2=a^2b^2+(b^2-a^2)R^2-b^4 ↓p=a+X ↓R=c-X b^2(a+X)^2=a^2b^2+(b^2-a^2)(c-X)^2-b^4 b^2(a^2+2aX+X^2)=a^2b^2+(b^2-a^2)(c^2-2cX+X^2)-b^4 b^2a^2+2aXb^2+b^2X^2=a^2b^2+(b^2-a^2)c^2-2c(b^2-a^2)X+(b^2-a^2)X^2-b^4 2aXb^2=(b^2-a^2)c^2-2c(b^2-a^2)X-a^2X^2-b^4 ↓両辺にa^2X^2+2c(b^2-a^2)Xを加えると a^2X^2+2{c(b^2-a^2)+ab^2}X=(b^2-a^2)c^2-b^4 ↓両辺にb^4-(b^2-a^2)c^2を加えると a^2X^2+2{c(b^2-a^2)+ab^2}X-(b^2-a^2)c^2+b^4=0 ↓このXの2次方程式を解くと X=(-c(b^2-a^2)-ab^2±√[{c(b^2-a^2)+ab^2}^2-a^2{b^4-(b^2-a^2)c^2}])/a^2 X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c^2(b^2-a^2)^2+2cab^2(b^2-a^2)+a^2b^4-a^2b^4+a^2(b^2-a^2)c^2}]/a^2 X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c^2(b^2-a^2)^2+2cab^2(b^2-a^2)+a^2(b^2-a^2)c^2}]/a^2 X={-c(b^2-a^2)-ab^2±√[{c^2(b^2-a^2)+2cab^2+a^2c^2}(b^2-a^2)}]}/a^2 X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{(c^2b^2+2cab^2)(b^2-a^2)}]/a^2 X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c(c+2a)b^2(b^2-a^2)}]/a^2 X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±b√{c(c+2a)(b^2-a^2)}]/a^2 ↓X>0だから X=[-c(b^2-a^2)-ab^2+b√{c(c+2a)(b^2-a^2)}]/a^2 ↓ ↓a=e2,b=e1,c=L1,X=L2,だから ↓ L2=[-L1(e1^2-e2^2)-e2e1^2+e1√{L1(L1+2e2)(e1^2-e2^2)}]/e2^2
お礼
素早いご解答 有難うございます。