楕円の寸法の、関係式を 教えてください。Part3

質問

お世話に、なります。

済みません
先の、質問で
私の、求めるもの
には

力量的、問題で
たどり着けそうに、無い
と、解りました

ので
今、一度
更に
直接的な、内容で
質問させて、ください
お願い、します。

さて、
添付図の、ように
円Ci、楕円El、点P、
が、ある
と、します。

此の、時
円Ci、楕円El、は
円Ciの、内側で
正接しており、

また、
点P、は
円Ciの、
外に、あり

併せて
円Ciの、中心点、
点P、
は、何方も

楕円Elの
短手軸線上に、ある、

更に、
L2、L2’、以外の
寸法記載箇所の、値
L1、e1、e２、
は、解る、

更に、加えて、
L2=L2'
で、ある

と、します。

以上の
条件下に、おける
L2を、表す
関係式を

済みませんが
また、
お示し、頂けないで
しょうか

お手数…　ですが
宜しく
お願い、致します。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a=e2
b=e1
c=L1
X=L2
p=a+X
R=c-X
とすると
L=R-a-p…(L)

円Ciの中心を原点(0,0)とすると
円の方程式は
x^2+y^2=R^2…(Ci)

楕円の中心を(p,0)とすると
楕円の方程式は
{(x-p)/a}^2+(y/b)^2=1…(El)

円と楕円の交点を(x,y)とすると
(Ci)の両辺からx^2を引くと
y^2=R^2-x^2
↓これを(El)に代入すると
{(x-p)/a}^2+(R^2-x^2)/b^2=1
(x^2-2px+p^2)/a^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1
(x/a)^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1
↓両辺から1を引くと

{(1/a)^2-(1/b)^2}x^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-1=0

円と楕円が接するから
このxの2次方程式は重根を持つから
その判別式D/4=0となるから

D/4=(p/a^2)^2-{(1/a)^2-(1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2-1}=0

↓両辺にa^4b^4をかけると

p^2b^4-(b^2-a^2)(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2)=0
a^2(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4)=0
↓両辺をa^2で割ると
b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4=0
↓両辺にa^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4を加えると
b^2p^2=a^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4
b^2p^2=a^2b^2+(b^2-a^2)R^2-b^4
↓p=a+X
↓R=c-X
b^2(a+X)^2=a^2b^2+(b^2-a^2)(c-X)^2-b^4
b^2(a^2+2aX+X^2)=a^2b^2+(b^2-a^2)(c^2-2cX+X^2)-b^4
b^2a^2+2aXb^2+b^2X^2=a^2b^2+(b^2-a^2)c^2-2c(b^2-a^2)X+(b^2-a^2)X^2-b^4
2aXb^2=(b^2-a^2)c^2-2c(b^2-a^2)X-a^2X^2-b^4
↓両辺にa^2X^2+2c(b^2-a^2)Xを加えると
a^2X^2+2{c(b^2-a^2)+ab^2}X=(b^2-a^2)c^2-b^4
↓両辺にb^4-(b^2-a^2)c^2を加えると
a^2X^2+2{c(b^2-a^2)+ab^2}X-(b^2-a^2)c^2+b^4=0
↓このXの2次方程式を解くと
X=(-c(b^2-a^2)-ab^2±√[{c(b^2-a^2)+ab^2}^2-a^2{b^4-(b^2-a^2)c^2}])/a^2
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c^2(b^2-a^2)^2+2cab^2(b^2-a^2)+a^2b^4-a^2b^4+a^2(b^2-a^2)c^2}]/a^2
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c^2(b^2-a^2)^2+2cab^2(b^2-a^2)+a^2(b^2-a^2)c^2}]/a^2
X={-c(b^2-a^2)-ab^2±√[{c^2(b^2-a^2)+2cab^2+a^2c^2}(b^2-a^2)}]}/a^2
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{(c^2b^2+2cab^2)(b^2-a^2)}]/a^2
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±√{c(c+2a)b^2(b^2-a^2)}]/a^2
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2±b√{c(c+2a)(b^2-a^2)}]/a^2
↓X>0だから
X=[-c(b^2-a^2)-ab^2+b√{c(c+2a)(b^2-a^2)}]/a^2
↓
↓a=e2,b=e1,c=L1,X=L2,だから
↓
L2=[-L1(e1^2-e2^2)-e2e1^2+e1√{L1(L1+2e2)(e1^2-e2^2)}]/e2^2

お礼

素早いご解答
有難うございます。