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京都大学院の入試問題です。力学
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(i)ｚ軸周りのトルクが質点に作用するか外力を検討すればよいです。 角運動量をρ、φ'で求め、さらにρをｚを使って表せばよいです。 角運動量(一定値)は初期値としてｚ0、ｖ0を使って表せます。 (ii)回転放物面が滑らかなのだから質点に作用する拘束力は質点の進行方向には作用しません。 従って質点に対して仕事をするのは保存力である重力だけなので質点の重力による位置エネルギーと 運動エネルギーの和は一定です。 回転放物面の傾きからｚ方向の速度と面内方向の速度との関係に注意して運動エネルギーを求め、位置エネルギーと合計して全エネルギーの式を求め、一定値を初期値を使って与えます。 (iii)(ii)で得られた関係式に(i)で得られた関係式およびｚ、ρの関係式を使って式を変形すると ｚについての微分方程式が得られますのでこれを解けば解が得られます。 このとき「速度が水平方向となる」という条件をうまく利用すれば、積分などという大げさな計算をする必要はなく、ｚ０ともう一つの解ｖ0^2／(2ｇ)が簡単に求まります。 ※ｚ０>ｖ0^2／(2ｇ)の場合には質点は回転しながらｚ=ｖ0^2／(2ｇ)まで降下して行き、 ｚ０<ｖ0^2／(2ｇ)の場合には回転しながらｚ=ｖ0^2／(2ｇ)まで上昇して行き、 ｚ０=ｖ0^2／(2ｇ)の場合には水平に回転することが予想できます。 また、ｚ0とｖ０の組み合わせがうまくマッチすれば毎回同じ軌跡を回転しますが合わなければ最高地点、最低地点が１週ごとに少しずつずれて(値によっては大きくずれることも)回転することも予想できます。
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