ベータ関数の計算について

質問

ベータ関数の計算について

写真のｎ項目を計算せよという問題なのですが，途中までしか分かりません、、良かったら教えて下さい

線より上はヒントになるかもしれないのでのせておきます

回答No.1

f272

B(1/2,1/2+n)=(1/2+n-1)/n*B(1/2,-1/2+n)になることはわかったのですね。
つまりB(1/2,1/2+n)=(2n-1)/(2n)*B(1/2,-1/2+n)です。
言い換えるとBの2番めの引数が1だけ減ると(2n-1)/(2n)倍になるということです。そうするとB(1/2,1/2)=πになるときにはBの2番めの引数が1/2+nから1/2にnだけ減っていますから，その前に出てくるのは(2n-1)!!/(2n)!!です。
ただし!!は二重階乗であって
(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)(2n-5)...(3)(1)
(2n)!!=(2n)(2n-2)(2n-4)...(4)(2)
です。
従って，あなたの書いている式は
((2n-1)!!/(2n)!!)^2 * π * x^n
になります。