アタイを求めて!

質問

(8 T^3)/(1 + T^2)^3 + (1 - T^2)^3/(1 + T^2)^3 = 11/ 16

のとき (2 T)/(1 + T^2) + (1 - T^2)/(1 + T^2) の値をお願いします；

回答No.3

tadopikaQ · ベストアンサー

2T/(1+T^2)=a, (1-T^2)/(1+T^2)=b とおきます。

a^3+b^3 = 11/16 .....[1]
a^2+b^2 = 4T^2/(1+T^2)^2 +(1-T^2)^2/(1+T^2)^2 = 1 .....[2]

a+b=c とおき、[1],[2]より、
a^3+b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2) = c(1+ab) = 11/16 .....[3]
a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab =c^2-2ab = 1 .....[4]

[3],[4]よりabを消去すると、
8c^3-24c+11=0
(2c-1)(4c^2+2c-11)=0
c=1/2, (-1±3√5)/4
これが答えです。

回答No.6

tadopikaQ

回答No3の続きです。

まず、[3]式の符号が違っていました。正しくは、
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = c(1-ab) = 11/16 .....[3]

序でに、c=1/2, (-1±3√5)/4 のときのTの値を計算してみましたので、示しておきます。

2T/(1+T^2) +(1-T^2)/(1+T^2) = c
これをTについて解くと、
T = (1±√(2-c^2))/(1+c) .....[5]

(1) c=1/2のとき、[5]より、
T = (2±√7)/3

(2) c=(-1-3√5)/4のとき、[5]より、
T = (-1-√5)/3 ±i(2+√5)/3

(3) c=(-1+3√5)/4のとき、[5]より、
T = (-1+√5)/3 ±i(-2+√5)/3

回答No.5

staratras

x=2T/(1+T^2)…（１）,y=(1-T^2)/(1+T^2)…（２） とおくと、xとyはそれぞれサインとコサインの媒介変数表示であることに気付きます。これで半分解けたようなものです。(この問題はsin^3θ+cos^3θ=11/16　のとき　sinθ+cosθの値を求めることとほぼ同じです。)

（１）と（２）を平方して加えると、x^2+y^2=(1+T^2)^2/(1+T^2)^2=1 …（３）
さらにx+y=Xとおくと、xy=((x+y)^2-(x^2+y^2))/2=(x^2-1)/2 …（４）
x^3+y^3=（x+y)^3-3xy(x+y)=11/16に（４）を代入すると、-X^3/2+3X^/2=11/16
これを整理すると、8X^3-24X+11=0 すなわち(2X-1)(4x^2+2x-11)=0

したがって、X=1/2 ,　X=(-1±3√5)/4　　…（５）

ところで（１）＋（２）より X=(2T+1-T^2)/(1+T^2)
これを整理すると、(X+1)T^2-2T+(x-1)=0
X=-1のときT=-1,X≠-1のときTは実数だから　
D/4=1-(x^2-1)≧0　-√2≦X≦√2　
（1次式と合わせて考えると結果としてX=-1も含まれる）　
(-1-3√5)/4≒-1.927　また(-1+3√5)/4≒1.427だから
（５）の解でこれを満たすのは　X=1/2　のみ

答え　1/2

回答No.4

asuncion

＞a^3+b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2)
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
だから、以降の議論は破綻していますね。

回答No.2

info222_

8T^3/(1+T^2)^3+(1-T^2)^3/(1+T^2)^3 =11/16
8T^3/(1+T^2)^3+(1-T^2)^3/(1+T^2)^3 -11/16=0
16*8T^3+16(1-T^2)^3 -11(1+T^2)^3=0
-(3T^2-4T-1)*(9T^4+12T^3+14T^2-20T+5)=0
Tが実数なら, (9T^4+12T^3+14T^2-20T+5)>0
3T^2-4T-1=0
T=(2±√7)/3
この時
(2 T)/(1 + T^2) + (1 - T^2)/(1 + T^2)
=(1+2T-T^2)/(1+T^2)
=1/2 ... (Ans.)

回答No.1

asuncion

電卓で計算したところ、0.5となりました。