zバー(zの平均)が正則でないことを証明せよという

質問

zバー(zの平均)が正則でないことを証明せよという問題があったのですが、教えてもらえないでしょうか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

その正則が
微分可能という意味ならば
zバーはzの平均ではありません
zバーはzの共役複素数です
zバーをzの共役複素数としてそれを
z~
とすると
zz~=|z|^2

z=x+iy
dz=dx+idy
とすると
z~=x-iy
(z+dz)~={x+dx+i(y+dy)}~=x+dx-i(y+dy)

{(z+dz)~-z~}/dz
=[x+dx-i(y+dy)-{x-iy}]/(dx+idy)
=(dx-idy)/(dx+idy)
=(dx-idy)^2/{(dx)^2+(dy)^2}
={(dx)^2-(dy)^2-2i(dx)(dy)}/{(dx)^2+(dy)^2}…(1)

(1)でdy=0とすると
lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz
=(dx)^2/(dx)^2
=1
∴
lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz=1

(1)でdx=0とすると
lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz
=-(dy)^2/(dy)^2
=-1
∴
lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz=-1≠1=lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz
∴
lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz≠lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz
∴
z~=zバーが微分できないから
zバー(zの共役複素数)が正則でない