- ベストアンサー
zバー(zの平均)が正則でないことを証明せよという
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その正則が 微分可能という意味ならば zバーはzの平均ではありません zバーはzの共役複素数です zバーをzの共役複素数としてそれを z~ とすると zz~=|z|^2 z=x+iy dz=dx+idy とすると z~=x-iy (z+dz)~={x+dx+i(y+dy)}~=x+dx-i(y+dy) {(z+dz)~-z~}/dz =[x+dx-i(y+dy)-{x-iy}]/(dx+idy) =(dx-idy)/(dx+idy) =(dx-idy)^2/{(dx)^2+(dy)^2} ={(dx)^2-(dy)^2-2i(dx)(dy)}/{(dx)^2+(dy)^2}…(1) (1)でdy=0とすると lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz =(dx)^2/(dx)^2 =1 ∴ lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz=1 (1)でdx=0とすると lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz =-(dy)^2/(dy)^2 =-1 ∴ lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz=-1≠1=lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz ∴ lim_{dx→0}{(z+dz)~-z~}/dz≠lim_{dy→0}{(z+dz)~-z~}/dz ∴ z~=zバーが微分できないから zバー(zの共役複素数)が正則でない
関連するQ&A
- dz/√(1-z^2)(1-k^2z^2)は正則か
dz/√(1-z^2)(1-k^2z^2)は極をもたない(正則)であることを証明せよ。 (z=±1,±1/kも極でない) という問題があったのですが,どうか教えていただけないでしょうか? これを使うか分からないですが参考程度に写真あげておきます
- 締切済み
- 数学・算数
- 正則性について。
--------------------------------------------------- f(z)=1/(bar(z)) z = x + iy とし z ≠ 0においてf(z)が正則であるかどうか判定せよ。 また、 R>0に対して複素積分 ∫_[|z|=R]f(z)dz の値を求めよ --------------------------------------------------- という問題なのですが、 u=x/x^2+y^2, v=u/x^2+y^2とすると、 ∂u/∂x = y^2-x^2/(x^2+y^2)^2 ∂v/∂y = x^2-y^2/(x^2+y^2)^2 となり、コーシー・リーマンの判定式を用いると、 ∂u/∂x≠∂v/∂yとなり、条件を満たさないので、 f(z)は正則ではないという結果が出ます。 f(z)が正則ではないのは、(bar(z))=0で特異点を持つためだと思うのですがこの問題の場合、z≠0で除外されていますよね? この場合、正則なのでしょうか? おそらく、特異点の捉え方がよくわかっていないのだと思います。 また、 次の問題はコーシーの積分公式で求めると思うのですが、 この公式は、bar(z)の場合にもそのまま当てはめてよいのでしょうか? ご指導ご鞭撻の程、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。 今度は正則について確認です。 f(z)={√(x^2+y^2)}^2 =x^2+y^2 =u+iv で 実部uはx^2+y^2 虚部vは0 u_x = 2x ≠ v_y =0 v_x = 0 ≠ u_y = 2y これらが一致しないので正則ではない …という答えでいいですか? 間違っていたら訂正をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- log(1-z)が正則か分からなくて困っています。
∫の|z|=r (r<1){log(1-z)}/zを計算せよ、という問題です。そこでコーシーの積分定理を使おうとしたのですが、log(1-z)の分枝切断をどうとるのかよくわからなかったりして、正則かどうかわからず、質問しました。 詳しく回答して頂けるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示
f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、 lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ の、いきなりz~になるところが分かりません。 どうやってz~を導くのか教えて下さい。 それと、この場合、f(0)で極限値をもてば、 z=0において微分可能と呼べるんですよね? lim[z->0] z~の極限値は0ということでいいですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素微分の存在→正則の証明
複素関数fの複素微分が存在するなら、その関数は正則であるということを証明するプロセスは複素関数論の教科書にはすべて載っていると思います。 私の本では複素微分df/dzにおいてdz=h+ikとして、k=0でh→0としたものと、h=0としてk→0としたものが一致しなければならないということから正則であることを誘導しています。複素微分による2つの特殊な例を適用したように見えるのですが、これで演繹的に証明したことになるのでしょうか。 これに関連して、正則とはコーシーリーマンの関係が成立することであり、それが正則の定義と考えていいのでしょうか。つまり正則ならコーシーリーマンの関係式が成立することを証明せよ、というようなことはないと思っていいでしょうか。 なお、正則→複素微分の存在という証明が別途出てきますが、こちらは平均値の定理とコーシーリーマンの式で演繹的に証明できたような印象なのですが。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正則行列の証明(代数学)
「n次正方行列Aについて次のことを証明せよ」という課題に取り組んでいます。ですが、下記の部分だけが合格できない状態です。力を貸して下さい。 『「Aは基本行列の積として表される」ならば「Aは正則」である。ことを証明せよ。』 というものです。解答としては、 「Aを基本行列の積に表す。基本行列は正則であり、正則行列の積はまた正則であるから・・」ということを証明すればいいと思うのですが・・・。アドバイスをお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正則な行列によってできる行列は正則か?
正則である行列A,Bがあるとします. この時,この行列のみの積を用いて行列を作った場合(例えばAB^-1Aなど),その行列は必ず正則であると言えるのでしょうか? もしくは,演算後の行列が正則であるかどうかは別問題であるのでしょうか? 反例や証明等があれば教えていただきたいです. よろしくお願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数