フェルマーの原理についての疑問

質問

「空気中(A点)から水中(B点)へ、媒体をまたいで二点(AB)間を移動する光は、屈折し最小・最短時間の経路を辿る」というフェルマーの原理ですが、気になった疑問があります。

この原理の哲学的(？)な見方として、「光はどうすれば最短時間を辿れるのかを知って移動するのか？」という問いがあります。

これは原理の証明のために二点間を勝手に決めただけで、光は「ここ(A点)から光を発して最短で水中(B点)にたどり着こう」と決めて発せられるわけではないと思うのですがどうなのでしょうか？

実際に光が屈折してたどった経路上に二点間を置いてみると、それが最短時間になること、という理解でいいのでしょうか？

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

＞実際に光が屈折してたどった経路上に二点間を置いてみると、それが最短時間になること、という理解でいいのでしょうか？

　良いと思いますよ(^^)。「・・・屈折し最小・最短時間の経路を辿る」とは、「光線には直進性がある」という事の言い換えでもあります。直進すれば、最小・最短時間の経路になるのは明らかです。

＞・・・「光はどうすれば最短時間を辿れるのかを知って移動するのか？」という問いがあります。

　じつはフェルマーの原理には、その後にけっこう長い系譜がありまして(^^;)、最終的には最小作用の原理とハミルトンの原理として結実します。

　最小作用の原理とは、L＝1/2×mv^2－U(x)　の時間積分が最小となるように、質点mは運動する、というものです。ここで1/2×mv^2は質点mの運動エネルギー，U(x)はそのポテンシャルエネルギーです。Lが、力学的エネルギーE＝1/2×mv^2＋U(x)　ですらない事は、注目に値します。

　ハミルトンの原理はその（幾何）光学版で、フェルマーの原理の一般化ですが、力学にも適用可能です。現在では、最小作用の原理とハミルトンの原理は、ほぼ同等なものと考えられています。

　Lはラグラジアンと呼ばれ、S＝∫Ldt　の事を作用と呼びます（まぁ～、勝手にですが）。ハミルトンの原理も一種の最小原理で、そこにはハミルトニアンが出てきます。ラグラジアンとハミルトニアンが、力学と光学の基本量であるとわかった時、当然そこには次の哲学的（？）見方があがった訳です。

　「質点はどうすれば、作用を最小とするような経路を予め知るのか？」という問いです。

　これに関してマッハは次のように言いました。
　だいたいラグラジアンは、運動量やエネルギーですらないよね？。だとすればそれは、人間が勝手に作った仮想量じゃないの？。現実の運動が起こった時に最小となるような量を、人間が後付けで数学的に構成しただけじゃない？。

　じっさい最小作用の原理と運動方程式は、数学的に同等じゃないか。運動方程式は未来の情報を使用せずに、現在の情報だけで稼働される。

　・・・と。そういう訳で現在では、「全ては経験則である」という事になりました(^^;)。

回答No.2

sonofajisai

光は媒質中、最速降下線をたどって進みます。
空気と水とでは最速降下線が違うために屈折するのです。
言い換えれば、２点間を最短時間で伝わるといえます。
ですから、質問者様の理解でよいですよ。

回答No.1

chie65535

ご参考。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/housoku/kussetu.html

＞実際に光が屈折してたどった経路上に二点間を置いてみると、それが最短時間になること、という理解でいいのでしょうか？

最短時間になるのは「偶然」であり、なおかつ「必然」です。哲学的に言えば。