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広義積分の収束or発散の判定
ddtddtddtの回答
0≦x<1で、(1-x^4)^(-1/2)≦(1-x^3)^(-1/2)≦(1-x^2)^(-1/2)なので、(1),(2)は、 ∫(0~1) (1-x^2) ^ -1/2 dx (a) の広義積分が求まれば、評価できます。(a)でx=sintと置換すると、dx=cost・dtなので、(1-x^2)^(-1/2)=(1-(sint)^2)^(-1/2)=((cost)^2)^(-1/2)=costより(a)は、 ∫(0~π/2) dt=[t](0~π/2)=π/2 (b) になります。従って、(1-x^4)^(-1/2)≦(1-x^3)^(-1/2)≦(1-x^2)^(-1/2)より、 ∫(0~1) (1-x^4) ^ -1/2 dx ≦∫(0~1) (1-x^3) ^ -1/2 dx ≦∫(0~1) (1-x^2) ^ -1/2 dx=π/2 (c) となり、(1),(2)は上に有界。ここで{x[n]}を1に収束する単調増加列とすれば、m>2に対して、0≦(1-x^m) ^ -1/2は明らかだから、 y[n]=∫(0~x[n]) (1-x^m) ^ -1/2 で点列{y[n]}を定義すると、{y[n]}も明らかに単調増加列で(c)より上に有界。上に有界な単調増加列は収束するので、広義積分(1),(2)は収束。 (3)については三角関数の合成公式より、sinx+cosx=(2)^(1/2)×sin(x+π/4)。よって、 ∫(0~π) 1/sin(x+π/4) dx (c) の積分ができれば良い。(c)の分母の零点は、0≦x≦πの範囲でx=3π/4のみ。従って積分区間を、[0,3π/4)と(3π/4,π]に分けて計算する必要がある。 (c)のタイプの不定積分は、分子分母にsin(x+π/4)をかけて、 ∫ sin(x+π/4)/(sin(x+π/4))^2 dx=∫ sin(x+π/4)/(1-(cos(x+π/4))^2) dx と変形し、部分分数に分けて、 ∫ sin(x+π/4)/(1-(cos(x+π/4))^2) dx =∫ 1/2×sin(x+π/4)×(1/(1-cos(x+π/4))-1/(1+cos(x+π/4))) dx とし、t=cos(x+π/4)と置換積分すれば、dt=-sin(x+π/4)・dxだから、 ∫ 1/sin(x+π/4)=-1/2×log((1-cos(x+π/4))/(1+cos(x+π/4))) (d) と求まる。(d)の結果に、x=3π/4を代入すると、 ∫(0~π) (sinx+cosx) ^ -1 dx=∞-∞ とわかり、発散。 ※(念のため)∞-∞は一般に計算不能で、0としてはいけません。
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お礼
詳しく書いていただき、ありがとうございます!!非常に分かりやすいです…!大変助かりました。