微分を使わない計算

質問

a(x＾n)＋bx＾(n-1)　　＋1が（x-1)＾２で割りきれるとき、a,b,をnで表す
答はa=n-1,b＝-nです

微分の解き方はやっと理解できたのですが
微分を使わない計算方法がわからないのでおしえてくれませんか？
できれば、詳細つきで
おねがいします

回答No.1

nabla

まず元の式にｘ＝１を代入して、
ａ＋ｂ＋１＝０を得るところは同じです。
これを変形すると１＝－ａ－ｂとなりこの式を元の式に代入すると、
ａｘ^{ｎ}＋ｂｘ^{ｎ－１}－ａ－ｂ＝０
となります。
これを因数分解してやると、
ａ(ｘ－１)(ｘ^{ｎ－１}＋ｘ^{ｎ－２}＋…＋ｘ＋１)＋ｂ(ｘ－１)(ｘ^{ｎ－２}＋ｘ^{ｎ－３}＋…＋ｘ＋１)＝０となります。
よって(ｘ－１)^２を因数として持つには、
ａｘ^{ｎ－１}＋(ａ＋ｂ)(ｘ^{ｎ－２}＋…＋ｘ＋１)
がｘ－１を因数に持つ必要があるのです。
そこでここに再びｘ＝１を代入してやると、
ｎａ＋(ｎ－１)ｂ＝０を得ます。

あとはこの式をａ＋ｂ＋１＝０と連立して解きましょう。