非等速円運動の速さの変化を積分で求める方法
- 非等速円運動の経過での速さ(速度の大きさ)の変化を求める方法について教えてください。
- 円筒面(四分円)での物体の速さの変化を積分を用いて計算する方法を教えてください。
- エネルギー保存則を使わずに、非等速円運動での物体の速さの変化を積分で求める方法を教えてください。
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非等速円運動の速さの変化を積分で求めたい。
お世話になります。よろしくお願いします。 非等速円運動の経過での速さ(速度の大きさ)の変化を求めるのに、積分を用いた方法をご存知の方がいましたら教えてください。 添付図は今年のセンター試験の問題です。 http://nyushi.nikkei.co.jp/center/16/2/exam/4210.pdf 円筒面(四分円)での物体の速さの変化ですが、円運動で、物体の速さの大きさを変化させる力は、物体の移動の向き(円周方向)なので、－mgcosθ(水平方向からの角度をθとする)。 これをθ＝0からπ/2まで積分すれば、四分円を移動する過程での物体の速さ(速度の大きさ)の変化を求められると思ったのですが、うまく式を立てられません。 ∫[θ=0→π/2]{(ーgcosθ)(r/v)}dθ みたいな感じだと思ったのですが、vがθの変数になるので、よく分からなくなってしまいました。エネルギー保存則を使わずにvも出したいので。 どなたかエネルギー保存則を使わずに、上記のような積分で、四分円での物体の速さの変化を求める方法をご存知の方がいましたら教えてください。 よろしくお願いいたします。
- da23
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前の回答者のおっしゃる通りなのです。 もう少しくだいて言えば、これを積分しようとすると結果的にエネルギー保存が出てくるのです。通常次のように積分します。 dv/dt = - g cosθ dv = -g cosθ・dt v = R dθ/dt を用いると v dv = -gR cosθ・dθ ∫[v=v1 → v2] vdv = -gr ∫[θ=0 → π/2]cosθ dθ (v2^2 - v1^2)/2 = -gR これがエネルギー保存にほかならないことは、もうお分かりでしょう？
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- trytobe
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『エネルギー保存則を使わずに、上記のような積分で、四分円での物体の速さの変化を求める方法』 は存在しない。なぜなら、上記のような積分区間で求めているのが、四分円で物体に与えられている力の積分、つまり、四分円で物体に与えられた仕事＝エネルギーの量を積分で求めているのであるから、四分円の前後でのエネルギー変化を用いないという前提と自己矛盾を起こす。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 「エネルギー保存則を用いない」というのは、エネルギー保存則の公式(mgh+1/2mv^2=const)を用いない、という意味です。 よろしくお願いいたします。
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お礼
ご回答どうもありがとうございます。 まさにこれです！ 円運動部分でのエネルギー保存則の導き方について質問すれば良かったのですね。 ずっと考えていて分からなかったので、とても助かりました。 どうもありがとうございました。