高校数学

質問

高校数学
この問題の解き方がわからないです。教えてください。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

f(x,y)=3x^2-4xy-2x+3y+1
yについて整理すると
f(x,y)=(-4x+3)y+3x^2-2x+1
となるから
-4x+3<0のときはf(x,y)はyについて単調減少
-4x+3>0のときはf(x,y)はyについて単調増加
です。つまり-4x+3<0のときはf(x,0)が最大値の候補であるし，-4x+3>0のときはf(x,1)が最大値の候補である。ここで
f(x,0)=3x^2-2x+1=3(x-1/3)^2+2/3であるからxについて単調減少でありf(1,0)が最大値の候補である。
f(x,1)=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1であるからxについて単調減少でありf(0,1)が最大値の候補である。
言い換えるとf(1,0)とf(0,1)を比較すれば最大値がわかります。
最小値についても同様にして，f(1/3,0)とf(1,1)を比較すれば最小値がわかります。

回答No.3

x1yobigun

> A≧0、B≧0であるので
> fはB=0のとき最大値をとりうる。
は正しくないですね。
なぜなら、Aの値もｙに依存しますから、ｙが5/8から少し値が変わって、Bの値が0から幾らか増えたとき（引く数が増える）、Aがそれ以上に大きな値に変わったなら、A-Bはy＝5/8のときよりも大きな値になるからです。
この議論は、Aの値がｘだけ、Bの値がｙだけで決まるときは正しいのですが、AもBもｙに依存しているときは、正しいと厳密には言えない論議です。

回答No.1

bran111

f=3x^2-4xy-2x+3y+1
=3x^2-2x(2y+1)+3y+1
=3[x^2-(2/3)(2y+1)x]+3y+1 （xに関して平方完成する）
=3{[x-(2y+1)/3]^2-(2y+1)^2/9]+3y+1
=3[x-(2y+1)/3]^2-(2y+1)^2/3+3y+1
=3[x-(2y+1)/3]^2-(1/3)[(2y+1)^2-9y]+1
=3[x-(2y+1)/3]^2-(1/3)[4y^2-5y+1]+1
=3[x-(2y+1)/3]^2-(4/3)[y^2-5y/4]+2/3 （yに関して平方完成する）
=3[x-(2y+1)/3]^2-(4/3)[(y-5/8)^2-25/64]+2/3
=3[x-(2y+1)/3]^2-(4/3)(y-5/8)^2+19/16
=A-B+19/16

1)最大値について
A≧0、B≧0であるので
fはB=0のとき最大値をとりうる。B=0より y=5/8、これは0≦y≦1に入っている。
このときA=3(x-3/4)^2は0≦x≦1であるので、x=0で最大となりA=27/16
よってfの最大値は27/16+0+19/16＝23/8

2)最小値について
A≧0、B≧0であるので
fはA=0のとき最小値をとりうる。A=0よりx＝(2y+1)/3、
B=(4/3)(y-5/8)^2が最大になるのは0≦y≦1であるのでy=0でB=25/48、
このときx=1/3となり0≦ｘ≦1に入っている。
fの最小値はA-B+19/16＝0-25/48+19/16=2/3

答え
最大値＝23/8　(x=0, y=5/8)
最小値＝2/3　(x=1/3,y=0)