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黄金角の回転を繰り返すとフィボナッチ数の螺旋が現れ
黄金角の回転を繰り返すとフィボナッチ数の螺旋が現れる理由 ヒマワリや松ぼっくりなどに 「フィボナッチ数の螺旋が現れる」…(1) ことは有名ですし、それらがφ=(1+√5)/2として 「黄金角2π/(1+φ)=2π/(φ^2)だけ回転しながら枝をつける」…(2) ことも知られています。 そこで(2)ならば(1)となることを示そうと考えたのですが上手くいきません。 試行錯誤の末、F[n]をn番目のフィボナッチ数として F[n]/(φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2)=φ^(n-2)/√5≒F[n-2] からF[n]/(φ^2)は整数に近いため、 「黄金角のフィボナッチ数倍が2πの整数倍に近い(F[n]番目の枝が0番目の枝の近くに来る)」…(3) は分かりました。 しかし(3)は(1)の必要条件であり、(1)を示す根拠として不足しています。 上手く(1)の必要十分条件を設定し、(2)⇒(1)を示して頂けませんか?
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- bran111
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補足
フィボナッチ数列の一般項については把握しています。 >F[n]/(φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2)=φ^(n-2)/√5≒F[n-2] の変形を見て(1-√5)/2(=ψとおきます)が出てこないと思われたのかもしれませんが 、|ψ|<1よりnが大きければψ^n≒0とみなせるため F[n]/(φ^2)=(φ^n+ψ^n)/(√5×φ^2)≒φ^n/(√5×φ^2) といった変形をしています。