東京書籍の新しい数学3で質問があります

質問

Y=4分の一x^2のグラフ上にx座標がそれぞれ-4、2となる点a,bをとりa,bを通る直線とy軸との交点を
Cとします。点pがy=4分の一x^2のグラフ上の点であるとき
三角形ocpの面積が三角形oabの面積の2分の一になるときのpの座標を求めなさい。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

正しいグラフが描ければそれだけで答えが求められる問題です。
まずA(-4,4)、B(2,1)であり、直線ABの式がy=-(1/2)x+2となることはよろしいでしょうか。
Cはy軸上の点なので、x=0 を代入して、C(0,2)です。

ここで、三角形OABをy軸で2つに分けて、OCを底辺とする2つの三角形を考えると、三角形OAB=三角形OCA（高さ4)+三角形OCB(高さ2)なので三角形OABはOCを底辺とする高さ6の三角形、例えば三角形OCA’と同じ面積です。ここでA’はx座標が±6であればどこでも可です。例えばA’(-6,3)とします。

三角形OCPの面積を三角形OABの面積(=三角形OCA’の面積)の1/2とするには、底辺OCが共通だから、高さを半分の3にすればよく、x=±3をy=(x^2)/4 に代入すれば、y=9/4　となるので、P(±3,9/4)です。（下のグラフでは、異なる点に同じ名前を付けられないソフトだったので片方をP’としています。 ）

回答No.4

jcpmutura

#2です。先ほどの誤りを訂正します。
y=f(x)=x^2/4
A:x=-4,y=f(-4)=4,A(-4,4)
B:x=2,y=f(2)=1,B(2,1)
A,Bを通る直線Lは
L : y-1=(x-2)(4-1)/(-4-2)=-(x-2)/2=1-x/2
y=2-x/2

CはL(y=2-x/2)とy軸(x=0)の交点だから
x=0,y=2,C(0,2)
P(p,p^2/4)
△OCPの面積=|△OCP|=2|p|/2=|p|…(2)

A'(-4,0),B'(2,0),D(2,4)
長方形AA'B'Dの面積=|□AA'B'D|
とすると
|△OAB|=|□AA'B'D|-|△OAA'|-|△OBB'|-|△ABD|
|□AA'B'D|=4*(2+4)=24
|△OAA'|=4*4/2=8
|△OBB'|=1*2/2=1
|△ABD|=(2+4)*(4-1)/2=9
|△OAB|=24-8-1-9=6…(3)

△OCPの面積が△OABの面積の1/2になるとき
|△OCP|=|△OAB|/2
(2),(3)から
|p|=6/2=3
p=±3
∴
P(p,p^2/4)=(±3,9/4)

回答No.2

jcpmutura

y=f(x)=x^2/4
A:x=-4,y=f(-4)=4,A(-4,4)
B:x=2,y=f(2)=1,B(2,1)
A,Bを通る直線Lは
L : y-1=(x-2)(4-1)/(-4-2)=-(x-2)/2=1-x/2
y=2-x/2

CはL(y=2-x/2)とy軸(x=0)の交点だから
x=0,y=2,C(0,2)
P(p,p^2/4)
△OCPの面積=|△OCP|=2p/2=p…(2)

A'(-4,0),B'(2,0),D(2,4)
長方形AA'B'Dの面積=|□AA'B'D|
とすると
|△OAB|=|□AA'B'D|-|△OAA'|-|△OBB'|-|△ABD|
|□AA'B'D|=4*(2+4)=24
|△OAA'|=4*4/2=8
|△OBB'|=1*2/2=1
|△ABD|=(2+4)*(4-1)/2=9
|△OAB|=24-8-1-9=6…(3)

△OCPの面積が△OABの面積の1/2になるとき
|△OCP|=|△OAB|/2
(2),(3)から
p=3
∴
P(p,p^2/4)=(3,9/4)

回答No.1

bran111

必ず正確なグラフを書いてから考えること。
y=f(x)=x^2/4
A : x=-4, y=f(-4)=4, A(-4,4)
B : x=2, y=f(2)=1, B(2,1)
A,Bを通る直線Lは
L : y-1=(x-2)(4-1)/(-4-2)=-(x-2)/2=1-x/2
y=2-x/2 (1)
C : (1)よりy=0,x=4, C(4,0)
P(p,p^2/4)
⊿OPCの面積＝S1＝(4×p^2/4)/2=p^2/2 (2)
A、Bからx軸におろした垂線の足をA',B'とする。
A'(-4,0), B'(2,0)
⊿OABの面積＝S2＝台形AA'B'Bの面積-⊿OAA'の面積-⊿OBB'の面積
台形AA'B'Bの面積＝(1+4)×6/2=15
⊿OAA'の面積=4×4/2=8
⊿OBB'の面積=1×2/2=1
S2=15-8-1=6 (3)

三角形ocpの面積が三角形oabの面積の2分の一になるとき
S1=S2/2, (2),(3)を代入して
p^2/2=6
p^2=12
p=2√3
P(p,p^2/2)=(2√3,6)