至急お願いします。

質問

数学の問題です。

aは正の実数とする、xy平面において、2曲線y=x（xーa）、x=y（yーa^2）が原点以外に異なる3つの交点Ａ、B、Cをもつようにaが変化する。
(1)aのとりうる値の範囲をもとめよ。
(2)三角形ABCの重心Gの軌跡を求めよ。
お願い致します。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

y=x（xーa）(1)
x=y（yーa^2）(2)

(1)を(2)に代入

x=x(x-a)[x(x-a)-a^2}=x(x-a)(x^2-ax-a^2)
x(x-a)(x^2-ax-a^2)-x=0
x[(x-a)(x^2-ax-a^2)-1}=0

x=0でない解は

(x-a)(x^2-ax-a^2)-1=0

を満たす。整理すると

x^3-2ax^2+a^3-1=0 (3)

を満たす。(3)の左辺をf(x)とおくと

f(x)=x^3-2ax^2+a^3-1

A,B,Cのx座標は(3)の解、すなわちf(x)=0の実解である。

f(x)=0が３つの異なる実解を持つ条件は

f'(x)=0の解をp,q(p<q)とすると

f(p)>0, f(q)<0になることである。

f'(x)=3x^2-4ax=0

a>0なので

p=0,q=4a/3

f(0)=a^3-1 (4)

f(4a/3)=1-5a^3/27 (5)

1) f(0)>0が成り立つためにはa>0より

a>1 (6)

2) f(4a/3)＜0が成り立つためには

a^3>27/5 ⇒　a>3/5^(1/3) (7)

(4)(5)がともに成り立つためには

a>3/5^(1/3) 　　　　（8）　　　　　（1）の答え

A,B,Cのx座標をα,β,γとすると重心のx座標は

x=(α+β+γ)/3

α,β,γは(3)の解であって、解と係数の関係により

α+β+γ=2a (9)

よって

x=2a/3 (10)

A,B,Cのy座標をyA,yB,yCとするとα,β,γを(1)に代入して

yA=α(α-a)
yB=β(β-a)
yC=γ(γ-a)

重心のy座標は

y=(yA+yB+yC)/3=[α(α-a)+β(β-a)+γ(γ-a)]/3
=[α^2+β^2+γ^2-a(α+β+γ)]/3
=[(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)-a(α+β+γ)]/3

(3)の解と係数の関係により
α+β+γ=2a, αβ+βγ+γα=0

よって

y=[4a^2-a(2a)]/3=2a^2/3 (11)

(10)と(11)からaを消去して

y=3x^2/2　　　　　　　（12）

xの変域は(8)を用いて

x=2a/3>2/5^(1/3) (13)

答え

変域 x>2/5^(1/3) におけるy=3x^2/2

回答No.1

hamazo2004

この手の質問には書きましたが、質問のタイトルは、「数学の問題です」にしましょう。関係のない人にわざわざ読ませることになります。質問については、勉強しましょう。