大学数学のラグランジェ未定数乗数法が分かりません

質問

楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1が第一象限で交わる交点ABCと原点で三角錐を切り取るとき、
その体積は楕円体と接平面P（X、Y、Z）に依存する。体積の最大値を求めその時の各交点Po,Ao,Bo,CoにおいてPoが三角形Ao,Bo,Coの重心を示せとなっているのですが、重心の証明ができません。どうか教えてください

回答No.5

loboskobay

先に平面と x,y,z 軸との交点の式 ( X_Y_Z 式) を出してあった。これは a,b,c, x,y,z が与えられたときに依存する式だった。原点から この X,Y,Z 点に伸ばしたベクトルを vZ,vY,vZ とすると、三角形の重心は (vX+vY+vZ)/3 になる。これにより重心が a,b,c x,y,z, の関数として表されたことになる。この式の x,y,z に (接触点 x,yz, 座標の式) の a,b,c 変数による式値を代入してやれば、三角形の重心を a,b,c の式として現わせたことになる。具体的に その計算結果は下のようになる。

ts();ts.var('a b c x y z'); x,y,z = (a/ts.sqrt(3), b/ts.sqrt(3), c/ts.sqrt(3));ts.simplify((a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(b**2*c**2*x 3))
===============================
a*3**(1/2)/3

ts();ts.var('a b c x y z'); x,y,z = (a/ts.sqrt(3), b/ts.sqrt(3), c/ts.sqrt(3));ts.simplify((a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(a**2*c**2*y 3))
===============================
b*3**(1/2)/3

ts();ts.var('a b c x y z'); x,y,z = (a/ts.sqrt(3), b/ts.sqrt(3), c/ts.sqrt(3));ts.simplify((a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(a**2*b**2*z 3))
===============================
c*3**(1/2)/3

これは、先の楕円体の接触点の座標と同じだ。だから三角錐の体積最小とするときの接触点が三角錐の底面の三角形の重心になっていることを Lagrange の未定係数法を使って代数的に証明できたことになる。

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Lagrange の未定係数法を使った代数的な証明は上のように大きな代数式を誤りなく計算せねばならない。こんなことは不可能に近い。だから こんな問題が何処から出てきたのか知りたい。

できたら教えてもらえますでしょうか。

回答No.4

loboskobay

Lagrange 未定係数法の評価関数を x,y,z,t で微分したものが 0 となることより先の三角錐の体積が最小となる楕円体上の点 x,y,z の組を求められる。具体的には下の四つの代数方程式が 0 になる x,y,z,t の解を求めねばならない。

[-3*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 9*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 9*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*y*z*a**2*b**4*c**4*x**3
- 3*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
+ 3*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
+ 3*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
- a**6*b**6*z**6
- a**6*c**6*y**6
+ 5*b**6*c**6*x**6,

-3*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 3*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 9*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*x*z*a**4*b**2*c**4*y**3
- 3*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
+ 3*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
+ 9*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
- a**6*b**6*z**6
- b**6*c**6*x**6
+ 5*a**6*c**6*y**6,

-3*a**2*b**4*c**6*x**4*y**2
+ 3*a**2*b**6*c**4*x**4*z**2
+ 3*a**6*b**2*c**4*y**4*z**2
+ 6*a**4*b**4*c**4*x**2*y**2*z**2
+ 4*t*x*y*a**4*b**4*c**2*z**3
- 3*a**4*b**2*c**6*x**2*y**4
+ 9*a**4*b**6*c**2*x**2*z**4
+ 9*a**6*b**4*c**2*y**2*z**4
- a**6*c**6*y**6
- b**6*c**6*x**6
+ 5*a**6*b**6*z**6,

-1 + x**2/a**2 + y**2/b**2 + z**2/c**2
]

こんな式は人間の手では解く気にならない。コンピュータにより計算させると、八種類の式が答えとして出てくるが、x,y,z とも正になる下の回を選ぶ。

(3**(1/2)*(a**2)**(1/2)/3,
3**(1/2)*(b**2)**(1/2)/3,
3**(1/2)*(c**2)**(1/2)/3,
-9*3**(1/2)*(a**2*b**2*c**2
)**(1/2)/4

上の式ならば手計算で、したのような単純なものに直せる。この x,y,z の位置で三角錐が最小の体積となる。
(x,y,z) ≡(a/(3**(1/2)), b/(3**(1/2)), c/(3**(1/2))) -----(接触点 x,yz, 座標の式)

回答No.3

loboskobay

>大学数学のラグランジェ未定数乗数法が分かりません
Lagrange 未定係数法の説き方を覚えるのは簡単ですが、その理由・自分で拡張するまでの理解に到達するのは難しい式です。「分かりません」というのは良い感覚をしています。解き方を覚えただけで分かった気になるのでは大学の数学ではありません。

書かれている問題設定では、不明確な処があるので下のような問題だと解釈します。

「問題の定義：<b>楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1の接平面が X,Y,Z 軸と第一象限で交わる交点 A,B,Cと原点で三角錐を考える。この三角錐の体積は楕円体と平面が接する位置 pv=[x,y,z]に依存する。この体積の最小値を求め、その時の平面と接する位置 x0,y0,z0 三角形 A0,B0,C0の重心である Lagrange 未定係数法を使って示せ</b>」

ここで肝は Lagrane 未定係数法で重心になっていることを示すところだと思います。この問題を解いてみましたが、コンピュータの力を借りないと無理だと思います。途中で何行にも渡る数式が幾つも出てきてしまい、手計算では書き誤りが入り込んでくるので、簡単には収束しないと思います。どこから、こんな問題が出てきたのか教えてもらえますでしょうか？

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下の blog に、この問題の検討結果を書いてあります。
http://loboskobayashi.wordpress.com/2010/11/30/lagrange-未定係数法13/
http://loboskobayashi.wordpress.com/2010/11/28/lagrange-未定係数法-23/

その骨子を抜き出して説明してみます。

楕円体 f(x,y,z) = (x/a)^2 + (y/b)^2 ; (z/c)^2 == 1 の表面上の点 pv=[x,y,z] で平面が接しているとしたとき、その平面が x,y,z 軸と交わる所での軸の値 X,Y,Z は下のようになる。

===============================
{X: (a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(b**2*c**2*x),
Y: (a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(a**2*c**2*y),
Z: (a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)/(a**2*b**2*z)}
-----------------------------( X_Y_Z 式)

このの X,Y,Z の値より 三角錐の体積は下のようになる
===============================
(a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)**3/(2*a**4*b**4*c**4*x*y*z)

だから平面と楕円体の接触点 x,y,z が 球面上の位置に拘束されていることを反映した Lagrange 未定係数法の評価関数下のようになる。
===============================
-t*(1 - 2*x/a - 2*y/b - z**2/c**2) + (a**2*b**2*z**2 + a**2*c**2*y**2 + b**2*c**2*x**2)**3/(2*a**4*b**4*c**4*x*y*z)

回答No.2

muturajcp

楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1
に対して
第一象限での各軸と楕円体の交点は
A=(a,0,0)
B=(0,b,0)
C=(0,0,c)
なので
ABCと原点からなる三角錐の体積は
abc/6
となり楕円体のa,b,cだけに依存し
接平面には依存しない。

楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1
上の点P(X,Y,Z)
での接平面は
xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2=1
第一象限での各軸と
接平面の交点は
A=(a^2/X,0,0)
B=(0,b^2/Y,0)
C=(0,0,c^2/Z)
なので
ABCと原点からなる三角錐の体積は
V=a^2b^2c^2/(6XYZ)
X,Y,Z のどれかが0に近づくと∞になるので
最大値はない。
(X,Y,Z)=(a/√3,b/√3,c/√3)のとき
最小値
V=(abc√3)/2
A=(a√3,0,0)
B=(0,b√3,0)
C=(0,0,c√3)
となり
P(X,Y,Z)=(a/√3,b/√3,c/√3)
は
△ABCの重心となる。

回答No.1

Tacosan

「楕円体(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1が第一象限で交わる交点ABC」といわれても, 何と交わるのかが分からないんだが....
さておき, 「体積の最大値」は求まっているんですよね? だとしたら, その「体積の最大値」を達成する「各交点」を実際に求めればいいような気もしないでもない.

補足

説明不足ですみませんでした。
交点は各軸と楕円体によるものです。
自分は最大値を求めるときに楕円体と接平面の接点Pを求めていず。
この点Pがどのように関係しているかもわからない状況です。