1次変換を表す行列

質問

次のように点を移す1次変換を表す行列を求めてください。
できればやり方なども教えていただけると助かります。

(1)(1,0)→(1,-2), (0,1)→(2,-1)

(2)(1,1)→(2,-1), (2,4)→(0,2)

解けなくて困ってます

回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#215361 · ベストアンサー

1次変換を表わす行列を次のようにします。
a　 b
c 　d
これは、
x'=ax+by
y'=cx+dy
を意味するので、次の関係が成り立ちます。

(1)について
1=a+0→a=1
-2=c+0→c=-2
2=0+b→b=2
-1=0+d→d=-1
よって、求める行列は、
　1 　2
-2 　-1

(2)について
2=a+b-(ア)
-1=c+d－(イ)
0=2a+4b－(ウ)
2=2c+4d－(エ)
(ア)*2-(ウ)からb=-2
これを(ア)に代入してa=4
(イ)*2-(エ)からd=2
これを(イ)に代入してｃ=-3
よって、求める行列は、
　4　-2
-3　　2

お礼

回答ありがとうございます。

>1次変換を表わす行列を次のようにします。
a　 b
c 　d
これは、
x'=ax+by
y'=cx+dy
を意味するので、次の関係が成り立ちます。

ここまでは分かるのですが

>(1)について
1=a+0→a=1
-2=c+0→c=-2
2=0+b→b=2
-1=0+d→d=-1

のところがいまいちわかりません。
詳しく教えていただけないでしょうか

回答No.6

noname#215361

ANo.1の回答者です。
既に締め切られてしまいましたが、補足回答を求められましたので、一応回答します。

1次変換を表わす行列をANo.1のようにしたときに、
変換前の点の座標を（x，y）、変換後の点の座標を（x'，y'）とすると、
x'=ax+by－(A)
y'=cx+dy－(B)
の関係になることは、既に示した通りです。

①について
・（1，0）→（1，-2）になる場合
X=1、y=0、x'=1、y'=-2なので、これらを上の(A)(B)に代入すると、
1=a*1+b*0=a・・・(A)に代入
よって、a=1
-2=c*1+d*0=c・・・(B)に代入
よって、c=-2
・（0，1）→（2，-1）になる場合
x=0、y=1、x'=2、y'=-1なので、これらを上の(A)(B)に代入すると、
2=a*0+b*1=b・・・(A)に代入
よって、b=2
-1=c*0+d*1=d・・・(B)に代入
よって、d=-1
以上でa、b、c、dの各値が確定したので、行列も確定します。

②について
①とは異なり、変換前の点の座標に0がないので、aとb、cとdに関する連立方程式を解くことになりますが、考え方は①と同様です。

お礼

ありがとうございます。おかげさまで納得することができました。

これからもよろしくお願いいたします。

回答No.5

info222_

X=Ax なので A=Xx^-1
この式を使って行列Aを求めます。
(1)
x=[1, 0: 0, 1], x^-1=[1, 0: 0, 1]
X=[1, 2: -2, -1]
A=X・x^-1
=[1, 2: -2, -1]・[1, 0; 0, 1]
=[1, 2: -2, -1]

(2)
x=[1, 2 : 1, 4], x^-1=[2, -1 : -1/2, 1/2]
X=[2, 0 : -1, 2]
A=X・x^-1
=[2, 0 : -1, 2]・[2, -1 : -1/2, 1/2]
=[4, -2 : -3, 2]

お礼

回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

回答No.4

178-tall

>… いまいちわかりません。

当然ながら、ANo.1 と ANo.2 ～ 3 は「数学的」に同じことをやってるのです。

{a, b, c, d} を未知数とした「連立線形方程式の解法」。
ANo.1 は「消去法」、ANo.2 ～ 3 は「逆行列」を使う手、ですけど…。
どちらかが判れば、他方も納得できるでしょうネ。

お礼

回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

回答No.3

178-tall

< ANo.2 の錯誤訂正と、一部補間。
　　↓

>(2) へ。
　[p1　;　p2] = [1　2　;　1　4]
　[q1　;　q2] = [2　0　;　-1　2]
だから、
　M = [2　0　;　-1　2] * [1　2　;　1　4]^(-1)
　　= [2　0　;　-1　2] * (1/2)*[4　-2　;　-1　1]
　　= (1/2)*[8　-4　;　-6　4]
　　= [4　-2　;　-3　2]

お礼

回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

回答No.2

178-tall

>(1)(1,0)→(1,-2), (0,1)→(2,-1)
>(2)(1,1)→(2,-1), (2,4)→(0,2)

変換行列 M を [a　c　;　b　d]
変換前の点 p1 を [x1　;　y1] , 点 p2 を [x2　;　y2]
変換後の点 q1 を [x1'　;　y1'] , 点 q2 を [x2'　;　y2']
とすると、
　M [p1　p2] = [q1　q2]
だろうから、[q1　q2] の右から [p1　p2] の逆行列を掛ければ M を得る。

(1) では [p1　p2] が単位行列。
… なので飛ばして、
(2) へ。

　[p1　;　p2] = [1　2　;　1　4]
　[q1　;　q2] = [2　0　;　-1　2]
だから、
　M = [1　2　;　1　4] * [2　0　;　-1　2]^(-1)
　　= [4　-2　;　-3　2]

…らしい。

お礼

回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いします。