一松信先生の「初等関数の数値計算」について

質問

下記のサイトに、一松信「初等関数の数値計算」(教育出版)先生の著書がります。
項6.3.3の問題の前に、下記の記述があります。
その中で『この部分の近似値を計算する際には特別の配慮をする必要がある』と有りますが、
桁落を含めて、私には残念ながら意味が解かりませんの、説明をお願いできないでしょうか。
尚、級数の計算はWindowsのjavaで行うことが出来ました。
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但しこれでも不十分な部分がある。図6.3 はsin x の値(実線) と，Maclaurin 展開式(6.6) を用い
た近似値の相対誤差(破線) をプロットしたものであるが，ちょうどsin x ≈ 0 となる部分で，相対
誤差が著しく増大しているのが分かる。これは展開式の計算で桁落ちが発生していることを示して
いる。従って，この部分の近似値を計算する際には特別の配慮をする必要がある。
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http://na-inet.jp/nasoft/chap06.pdf

以上

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

x がπに近いケースでは、
　sin(x) = x - x^3/3! ± …　　(6.6)
の右辺各項はどんどん増大していくけど、結果は零に近い、という勘定になりますね。
つまり、「展開式の計算で桁落ちが発生している」。

「アルゴリズム 4」の　(b) が、その「桁落ち」を回避する「特別の配慮」でしょう。
x ≒πのかわりに x ≒ 0 を使って勘定するわけですから。

>但しこれでも不十分な部分がある。
… という注記があるけど、「アルゴリズム 4」がそれを回避する一策とみられ、チョイとチグハグ。

java 計算の結果で検証できませんか？

補足

178-tall さま

回答有難うございます。
桁落ちと言う日本語の意味が、理解できません。
正しい値が、1.2345678であるとすれば、桁落ちの値は、とうなるのでしょうか？
＞java 計算の結果で検証できませんか？
＜－－－桁落ちの意味さえ解かれば、テストしてみたいと思います。
以上

回答No.4

178-tall

算のときの「桁落ち」が目立ちます。

　　↓　脱字付加

減算のときの「桁落ち」が目立ちます。

回答No.3

178-tall

>… 桁落ちと言う日本語の意味が、理解できません。

有限桁数の四則勘定にて、いわゆる「有効桁数」が減ってしまう現象です。
算のときの「桁落ち」が目立ちます。

一例。
有効 5 桁の勘定で、
　1.2345 - 1.2334 = 0.0011
なる減算を実行すると、有効 2 桁しか残らない。

補足

178-tall さま
＞一例。
有効 5 桁の勘定で、
　1.2345 - 1.2334 = 0.0011
なる減算を実行すると、有効 2 桁しか残らない。
＜－－－丁寧な説明有難うございます。
お陰で、やっと理解できました。

回答No.2

178-tall

< ANo.1 への追記。

x ≒πでの相対誤差 (図 6.3) の大部分は、x' = π- x で生じる「桁落ち」に起因するものらしい、ですネ。

補足

178-tall さま

＞x ≒πでの相対誤差 (図 6.3) の大部分は、x' = π- x で生じる「桁落ち」に起因するものらしい、ですネ。
＜－－x ≒0での相対誤差 (図 6.3)の相対誤差もx ≒πの相対誤差も同程度
と思われます。
しかし、両者の相対誤差に差があると考えるべきでしょうか？
つまり、x ≒0の場合は、引き算が存在しないので。

以上

追伸：
一松信先生の「初等関数の数値計算：第６章」の問題の級数展開の項目数と
計算精度に関する問題がありました。後日、投稿しますので、もしご返事頂けますと光栄です。