シミュレーションを元に得られた近似式の有効桁と平均2乗誤差について

質問

卒業研究で「有限バッファモデルの待ち行列シミュレーションを行い、その結果（呼損率やバッファ使用率、平均待ち時間等）をもとに近似式を導き出す」
ということをやっているのですが、結果として出した近似式について、教授にもっと簡単な式にするべきと言われました。
近似式はシミュレーション結果をExcelにプロットし近似曲線を引くことで得ています。

助言として次の2点を言われています。
・式の係数は2桁ないし、1桁ぐらいにしてみる
・平均2乗誤差を使う

実際、以下のようにExcelで得た線形近似or多項式近似の式の係数を削り、平均2乗誤差を出してみました。

※(0.01 <= x <= 0.50、0.01刻み)の範囲での実験結果です
y = 0.3181x2 + 0.0399x - 0.0018
　　　↓
y = 0.32x2 + 0.04x - 0.0018
平均2乗誤差：4.89E-07
x=0.01の時の99%信頼区間：3.76E-05 <= y <= 8.04E-05
x=0.50の時の99%信頼区間：5.38E-03 <= y <= 9.67E-02

xの値が0.01に近い所と0.50に近い所では、明らかに有効な桁が変わってきて、係数を削った影響も異なると思うのですが、
単純に平均2乗誤差だけを見て精度を落とさず、近似できていると結論付けてよいものなのでしょうか？

長文になってしまいましたが、何か助言できる方いましたら、力をお貸しください。
よろしくお願い致します。

回答No.2

masa2211

＞xが小さいほど分散も小さな値になっている為、xの値によって0.0012の持つズレの意味も異なってくるとは思うのですが。
＞そもそも、このようなデータの場合、xの範囲によってどの程度誤差を無視していいのか、がいまいち掴めておりません。。

当初、ｙがいったい何を意味するのか、また、99%信頼区間とはいったい何のことなのか
さっぱりわからなかったので、その部分はスルーしました。

まず、ｙは呼損率ということは、負の値はとらないわけだし、
ｘ＝0のときｙ＝0
は確定しているようです。
その場合、回帰式を選定する際に、
ｘ＝0のときｙ＝0
になるような式を選定します。
具体的には、
ｙ＝Ａｘ2＋Ｂｘ　など。
excelで計算する場合、　多項式近似で2次式--切片＝0にチェックマーク
で計算できます。

そして、これで充分とは思いますが、問題が無いわけではありません。
excelで計算した近似式とは、（回帰式－シミュレーション値）　のズレ具合と
ｙの大きさには無関係と仮定されてしまっている点。
今回の場合、明らかに、ｙが小さいほどズレの絶対値は小さいということがいえます。
このような場合の方法について。

まず、Ｙ＝ｙ/ｘとします。
で、ｘとＹでグラフを書くと、うまいことに
ｘの大きさにかかわらずｙの分散は一定だし、ｘとＹの関係は直線になります。
したがって、
Ｙに対し普通の最小２乗直線回帰（excelの切片付の直線回帰）
を求め、その値を　Ｙ＝Ａｘ＋Ｂ　　とすると、
あとは、この式をｙ＝...に直すだけなので
ｙ＝Ａｘ2＋Ｂｘ　　（ＡもＢもそのまま使える）
となります。
※こんなことしなくも、excelで、切片ゼロの2次式を求めても大丈夫（そんなことまで教授は求めていない可能性が大きい。）とは思いますが、
　小さい値の誤差を追求する場合、こういった方法でできます。

回答No.1

masa2211

EXCELで2次式の回帰をしたということは、最小2乗法で係数を求めたということです。
この場合、
測定値(x,y)の組に対し、回帰式(x,f(x))を考えた場合、
(Σ(f(x)-y)^2)/nが最小となるように回帰係数が求まります。
で、回帰係数の有効桁を落とした場合、その関数を(g(x))とすると
(Σ(z(x)-y)^2)/nがはたしてどのくらいになるか。
(Σ(f(x)-y)^2)/nと、大して変わらないなら、係数の有効桁を何桁も書く理由はありません。
極端にいえば、
y=0.3x^2+0.05x-0.002
と丸めたとします。これでも、当初の4桁係数の式の値と比べ、
最大でも0.0012しか違いません。
0.0012違うことが意味を持つかどうかは、シミュレーション結果がどれだけ式からズレているかによります。ですので、シミュレーション結果の
データが無いので、何ともいえません。

あと、
＞簡単な式にすべき
とは、係数の有効桁が少ないということでなく、係数の数が少ないことを意味するので、
たとえば、
ｙ＝（0.61ｘ＋0.01)^2
ｙ＝0.35ｘ2＋0.023ｘ
を近似式の候補にあげておきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
いくつか質問させて頂いてもよろしいでしょうか。

y=0.3x^2+0.05x-0.002に丸めた場合の0.0012の持つ意味についてですが、
以下が今回の式を導いた元データになります。
※シミュレーション10回試行の平均と分散(一部略)

x(呼量) y(呼損率) 分散
0.01 0.000059 4.32E-10
0.02 0.000198 1.31E-09
0.03 0.000469 5.34E-09
0.04 0.000837 1.36E-08
0.05 0.001258 1.02E-08
0.06 0.001783 1.45E-08
0.07 0.002463 3.04E-08
0.08 0.003155 4.14E-08
0.09 0.003847 1.96E-08
0.1 0.00472 7.62E-08
0.11 0.00578 8.81E-08
0.12 0.006912 4.64E-08
0.13 0.008112 1.33E-07
0.14 0.00922 9.96E-08
0.15 0.010562 6.35E-08
0.16 0.012066 1.48E-07
0.17 0.0134 1.10E-07
0.18 0.01523 1.33E-07
0.19 0.016646 8.76E-08
0.2 0.018571 1.81E-07
0.25 0.028188 1.41E-07
0.3 0.039225 4.29E-07
0.35 0.051804 1.37E-06
0.4 0.065664 2.97E-07
0.41 0.068876 6.08E-07
0.42 0.071305 1.01E-06
0.43 0.074426 2.51E-07
0.44 0.07745 4.07E-07
0.45 0.0807 1.15E-06
0.46 0.083312 1.59E-06
0.47 0.086467 1.36E-06
0.48 0.09061 1.70E-06
0.49 0.093025 1.28E-06
0.5 0.095857 6.71E-07

xが小さいほど分散も小さな値になっている為、xの値によって0.0012の持つズレの意味も異なってくるとは思うのですが。
そもそも、このようなデータの場合、xの範囲によってどの程度誤差を無視していいのか、がいまいち掴めておりません。。

データ全体の特性からして、小さい値の誤差はある程度諦めるべきなのか。それとも小さい桁での誤差の影響を少なくする為には、また別の近似方法が必要なのでしょうか？

＞あと、
＞＞簡単な式にすべき
＞とは、係数の有効桁が少ないということでなく、係数の数が少ないこ＞とを意味するので、
＞たとえば、
＞ｙ＝（0.61ｘ＋0.01)^2
＞ｙ＝0.35ｘ2＋0.023ｘ
＞を近似式の候補にあげておきます。

なるほど。式を簡単にするとは係数の数が少ないということですね。
提示して頂いた式の方が単に丸めた式よりも実用的にも楽ですし、グラフの特性に近づいていると思います。
式をこのように変形するにはどのようなアプローチが必要なのでしょうか？
数学的知識が少ないため、あまり複雑な計算を必要としなければいいのですが。。