Xの平均の2乗とYの平均の積の期待値

質問

N人のあるクラスの生徒の中から無作為にn人の生徒（標本）を選んで、そのn人の体重(X)と身長(Y)を調べ、n人の体重の平均の2乗（μX^2）と同じn人の身長の平均（μY）の積(μX^2) (μY)を計算します。
このとき、積(μX^2)(μY)の期待値E[(μX^2)(μY)]は、どのような式になるでしょうか。
だれかわかる方、お教えください。

ちなみに、n人の体重の平均（μX）の期待値E[μX]は、クラス全員の体重の平均（μx）
E[μX]=μx ですし、
n人の体重の平均の2乗（μX^2）の期待値E[μX^2]は、
E[μX^2]=(μx)^2+(N-n)/(N-1) (1/n) (σx)^2　です。
ただし、(σx)^2は、クラス全員の体重の分散
また、n人の体重の平均と同じn人の身長の平均の積(μX) (μY)の期待値は、
E[(μX) (μY)]=(μx) (μy)+(N-n)/(N-1) (1/n)ρ(σx) (σy)　です。
ただし、μxは、クラス全員の体重の平均
μyは、クラス全員の身長の平均
ρは、クラス全員の体重と身長の相関係数
σxは、クラス全員の体重の標準偏差
σyは、クラス全員の身長の標準偏差

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

> あと、すみません。E[((μX-μx)^2)(μY-μy)]をどうやって求めるかをもしよろしければ教えていただけないでしょうか。

やっぱり説明必要ですよね……
書き込むのが手間なので手を抜いてしまいました。

行列を使って説明します。

まず、N人分の体重のデータをN×1行列Xで表し、身長のデータを対角成分に並べ、非対角成分は0のN×N行列Yで表します。
成分がすべて1であるn×1行列をJ(n)、転置行列をt()とすると、
μx = t(J(N))X/N
μy = t(J(N))YJ(N)/N
となります。

N人の中からn人選ぶ組み合わせは
C(N, n) = N!/((N-n)!n!)
ありますが、このN!/((N-n)!n!)個の組み合わせを成分が0か1の1×N行列A(i)（i = 1～C(N, n)）で表すこととします。
つまり、最初の3人を選んだ場合
A(i) = (1, 1, 1, 0, ... , 0)
となります。
従って
μX = A(i)X/n
μY = A(i)YJ(N)/n
と書くことができ、求めたい期待値はI(N)をN×N単位行列とすると
E[((μX-μx)^2)(μY-μy)] = E[ (A(i)X/n-t(J(N))X/N)^2 (A(i)YJ(N)/n-t(J(N))YJ(N)/N) ]
= (1/n^3) E[ (t(X)t(A(i))-nt(X)J(N)/N) (A(i)YJ(N)-nt(J(N))YJ(N)/N)(A(i)X-nt(J(N))X/N) ]
= (1/n^3)t(X) E[ (t(A(i))-nJ(N)/N) (A(i)-nt(J(N))/N)YJ(N)(A(i)-nt(J(N))/N)]X
= (1/n^3)t(X) E[ (t(A(i))-J(N)t(J(N))t(A(i))/N) (A(i)-A(i)J(N)t(J(N))/N)YJ(N)(A(i)-A(i)J(N)t(J(N))/N) ] X
= (1/n^3)t(X)(I(N)-J(N)t(J(N))/N) E[ t(A(i))A(i)(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)X
と変形できます。

E[ t(A(i))A(i)(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)A(i) ]
を成分ごとに考えてみます。
A(i)のj列目の成分を
a(i, j)
と書くことにすると(j, j)対角成分は
E[ a(i, j)^2 A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N) = E[ a(i, j)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)
となります。
E[ a(i, j)A(i) ]はA(i)のj列目が1である確率はC(N-1, n-1)/C(N, n)、j列目以外はC(N-2, n-2)/C(N, n)であるので
E[ a(i, j)A(i) ]　= (C(N-1, n-1)/C(N, n) - C(N-2, n-2)/C(N, n))K(j) + (C(N-2, n-2)/C(N, n))t(J(N))
ここでK(j)は()内に表示した成分のみ1でそれ以外は0である1×N行列である。
故に(j, j)対角成分は
E[ a(i, j)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N) = ((C(N-1, n-1)/C(N, n) - C(N-2, n-2)/C(N, n))K(j) + (C(N-2, n-2)/C(N, n))t(J(N)))(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)
= (C(N-1, n-1)/C(N, n) - C(N-2, n-2)/C(N, n))K(j)(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)
= (n(N-n)/(N(N-1)))(K(j)-t(J(N))/N)YJ(N)
= (n(N-n)/(N(N-1)))(Y(j)-μy)
となる。Y(i)はYの(j, j)成分を表す。
同様に(j, k)非対角成分は
E[ a(i, j)a(i, k)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)
となり、E[ a(i, j)a(i, k)A(i) ]のA(i)のj列目が1である確率はC(N-2, n-2)/C(N, n)、k列目もC(N-2, n-2)/C(N, n)、j, k列目以外はC(N-3, n-3)/C(N, n)であるので
E[ a(i, j)a(i, k)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N) = ((C(N-2, n-2)/C(N, n) - C(N-3, n-3)/C(N, n))K(j, k) + (C(N-3, n-3)/C(N, n))t(J(N)))(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)
= (n(n-1)(N-n)/(N(N-1)(N-2)))(Y(j)-μy+Y(k)-μy)
となります。
まとめると
E[ t(A(i))A(i)(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)A(i) ] = (n(N-n)/(N(N-1)))((1-2(n-1)/(N-2))(Y-μyI(N)) + ((n-1)/(N-2))(YJ(N)t(J(N))-μyJ(N)t(J(N))) + ((n-1)/(N-2))(YJ(N)t(J(N))-μyJ(N)t(J(N))))
ですが、
E[((μX-μx)^2)(μY-μy)] = (1/n^3)t(X)(I(N)-J(N)t(J(N))/N) E[ t(A(i))A(i)(I(N)-J(N)t(J(N))/N)YJ(N)A(i) ] (I(N)-J(N)t(J(N))/N)X
に代入すると
(n(N-n)/(N(N-1)))(1-2(n-1)/(N-2))(Y-μyI(N)) = (n(N-n)(N-2n)/(N(N-1)(N-2)))(Y-μyI(N))
のみが残り
E[((μX-μx)^2)(μY-μy)] = (1/n^2)((N-n)(N-2n)/(N(N-1)(N-2)))t(X-μxJ(N))(Y-μyI(N))(X-μxJ(N))
= (N-n)(N-2n)(N人分の(体重-μx)^2×(身長-μy)の和)/(N(N-1)(N-2)n^2)
となります。

お礼

本当にありがとうございました。やはりこんなに大変な計算だったのですね。期待値を行列で計算してしまう方法を知らなかったので、非常に参考になります。これからゆっくりと式を追って理解していきたいと思っています。ありがとうございました。感謝、感謝です！

回答No.2

noname#227064

ANo.1訂正
(誤) N人分の体重^2×身長の和
(正) N人分の(体重-μx)^2×(身長-μy)の和

お礼

quaestioさん、このような特殊な質問に的確にお答えいただき大変ありがとうございます。光が見えてきました。
あと、すみません。E[((μX-μx)^2)(μY-μy)]をどうやって求めるかをもしよろしければ教えていただけないでしょうか。E[((μX-μx)^2)(μY-μy)]をただ単に分解してEの線形作用素を使ってしまえば、E[(μX^2)(μY)]=E[(μX^2)(μY)]になってしまうので、ここで何としてもE[((μX-μx)^2)(μY-μy)]を解かなければなりません。
私の最初の質問が答えだけを教えてくださいだったので、とても申し訳ないのですが、ヒントだけでもお願いできないでしょうか・・・

回答No.1

noname#227064

E[(μX^2)(μY)] = E[((μX-μx+μx)^2)(μY-μy+μy)]
= E[((μX-μx)^2+2μx(μX-μx)+(μx)^2)(μY-μy+μy)]
= E[((μX-μx)^2)(μY-μy)+2μx(μX-μx)(μY-μy)+((μx)^2)(μY-μy)+((μX-μx)^2)μy+2μx(μX-μx)μy+((μx)^2)μy]
= E[((μX-μx)^2)(μY-μy)] + 2(N-n)/(N-1) (1/n)ρ(μx)(σx) (σy) + (N-n)/(N-1) (1/n)μy (σx)^2 + ((μx)^2)μy]
と変形できるので、後は
E[((μX-μx)^2)(μY-μy)]
を求めるのが楽かと思います。

N人分の体重^2×身長の和が必要になり、計算間違いをしていなければ
E[((μX-μx)^2)(μY-μy)] = (N-n)(N-2n)(N人分の体重^2×身長の和)/(N(N-1)(N-2)n^2)
になると思います。