濃度と時間の関係を表す自然対数の式と半減期の計算

質問

一定条件下、薬物Ａは一次反応で分解し、その半減期は10時間であった。この反応に関して以下の設問に答えてください。ただし、In=0.693、In=2.30とする。

(1)薬物濃度［A］と時間ｔの関係を表す自然対数を用いた式を示してください。ただし、［A］、[A]0、k、ｔの記号を使ってください。

(2)Ａの75％が分解し、Ａの25％が残存する時間を求めてください。単位も示してください。

(3)Ａの90％が分解し、Ａの10％が残存する時間を求めてください。単位も示してください。

途中の計算の過程や解説もできるだけ詳しくお願いします 。

回答No.2

nious · ベストアンサー

A → B (分解反応)

(1) 一次反応だから次の微分方程式を満たす。

－d[A]/dt＝k[A] (変数分離形)
∫d[A]/[A]＝－k∫dt
ln([A])＝C－kt

t＝0 のとき [A]＝[A0] だから C＝ln([A0])、式は次のように書ける。

ln([A])＝ln([A0])－kt ‥(*)
自然対数を用いて表した。

(2) 半減期が 10(h) より(*)から、
ln([A0]/2)＝ln([A0])－10k
ln(1/2)＝－10k
反応速度定数：k＝ln(2)/10 h^(-1)

[A]＝0.25[A0] になるとき(*)から、
ln(0.25[A0])＝ln([A0])－kt
ln(0.25)＝－kt
t＝－ln(0.25)/k＝－10・ln(0.25)/ln(2)＝－10・ln(1/4)/ln(2)＝＝2・10・ln(2)/ln(2)＝20(h)

(3) [A]＝0.10[A0] になるとき(*)から、
ln(0.10[A0])＝ln([A0])－kt
ln(0.10)＝－kt
t＝－ln(0.10)/k＝10・ln(10)/ln(2)＝10・2.30/0.693≒33(h)

お礼

ありがとうございました。しっかり見直して自分で計算ができるようにしたいと思います。

回答No.1

f272

(1)
一次反応なのだから薬物濃度[A]は初期薬物濃度[A0]，時間tと濃度の減少率kを用いて
[A]=[A0]*exp(-kt)
とあらわされる。ここで半減期が10時間であることから
[A0]/2=[A0]*exp(-10k)
つまり2=exp(10k)，k=ln(2)/10=0.0693ということがわかる。
(2)
10時間で初期の0.5になって，もう10時間で初期の0.25になる。つまり求める時間は20時間である。
(3)
[A0]*0.1=[A0]*exp(-ln(2)/10*t)
だから
10=exp(ln(2)/10*t)
t=ln(10)/ln(2)*10=2.30/0.693*10=33.2時間