中2 数学

質問

この問題がわかりません。どなたか教えてください！
お願いします！！

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

αの代わりにa,βの代わりにbを使います。（タイプしやすいから）

a=√m-√(m-1), b=√n-√(n-1)

(1)
1/a=1/√m-√(m-1)=[√m+√(m-1)]/[√m-√(m-1)][√m+√(m-1)]=[√m+√(m-1)]/[m-(m-1)]
=√m+√(m-1)
同様に
1/b=√n+√(n-1)

a+1/a=√m-√(m-1)+√m+√(m-1) =2√m
b+1/b=√n-√(n-1)+√n+√(n-1) =2√n
m=3 ⇒　a+1/a=2√m =2√3
n=6 ⇒　b+1/b=2√n =2√6

S=ab+a/b+b/a+1/ab=a(b+1/b)+(1/a)(b+1/b)=(a+1/a)(b+1/b)=4√mn
=4√18=12√2

(2)
S=8√3のとき
Ｓ＝4√mn＝8√3 ⇒　√mn＝2√3 ⇒　mn=12
n>m>1なので
m=2, n=6
m=3, n=4

「ただし□＜□とする」の部分は不明。何も条件が思いつかない。

(3)
T=a^2b^2+a^2/b^2+b^2/a^2+1/a^2b^2とするとＳとの比較より

T=a^2b^2+a^2/b^2+b^2/a^2+1/a^2b^2=(a^2+1/a^2)(b^2+1/b^2)
a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2=(2√m)^2-2=4m-2
b^2+1/b^2=(b+1/b)^2-2=(2√n)^2-2=4n-2
T=500=(4m-2)(4n-2)
(2m-1)(2n-1)=125=5^3
n>m>1を考慮して
(a)2m-1=1, 2n-1=125 または
(b)2m-1=5, 2n-1=25

(a)の場合 m=1となりm>1に反する。

(b)の場合　m=3, n=13

2m-1=1とするとm=1となり

お礼

大変分かりやすかったです。有難うございます。

回答No.2

gohtraw

（１）
まず、1/α　と　1/βの分母を有理化しましょう。
1/α=1/(√m-√(m-1))
分母および分子に√m+√(m-1)を掛けると、
分母=m-(m-1)=1
分子=√m+√(m-1)
よって　1/α=√m+√(m-1)
同様に　1/β=√n+√(n-1)
従って
α+1/α=√m-√(m-1)+√m+√(m-1)=2√m
同様に
β+1/β=2√ｎ
です。
Sは因数分解すると
(α+1/α)(β+1/β)
です。

（２）
（１）の結果からS=4√（mn)　なのだから、
4√(mn)=8√3　よりmn=12　です。従って1<m<nより
m=2,n=6　または　m=3,n=4

（３）
与式=(α^2+1/α^2)(β^2+1/β^2)　であり、
α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2=4m-2
同様に
β^2+1/β^2=4n-2
なので、与式は
(4m-2)(4n-2)=500
4m-2,4n-2はいずれも4の倍数ではない偶数であり、
500=5^3×2^2
なので、これを満たす4m-2と4n-2の組は
2,250　または10,50　となるがm>1なので4m-2=2は不適。
よって4m-2=10、4n-2=50　なので
m=3、n=13

お礼

大変参考になりました。有難うございます。