f(x)=(1+x)^p n回微分について

質問

f(x)=(1+x)^p (pは実数)
をn回微分した時の形の求め方を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

bran111

補足への回答

f(x)=(1+x)^p (pは実数)
f'(x)=p(1+x)^(p-1)
f''(x)=p(p-1)(1+x)^(p-2)
f'''(x)=p(p-1)(p-2)(1+x)^(p-3)

・
・
f(n)(x)=p(p-1)(p-2)・・・（p-n+1)(1+x)^(p-n)

f'''(x)=p(p-1)(p-2)(1+x)^(p-3)

でわかるように
3回微分すれば(1+x)の累乗は(p-3)となり、係数は一つ手前の(p-2)まで順番に掛かって来ているのがわかりますか。

これを一般にn回やれば
(1+x)の累乗は(p-n), 係数は(p-n)の一つ手前の(p-(n-1))=(p-n+1)までかかってくるという意味です。

自分で計算してみて、微分を繰り返していくとどうなるかの傾向を自分で整理してみてください。

お礼

遅くなりました。申し訳ないです。
回答ありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

回答No.1

bran111

f(x)=(1+x)^p (pは実数)
f'(x)=p(1+x)^(p-1)
f''(x)=p(p-1)(1+x)^(p-2)
・
・
f(n)(x)=p(p-1)(p-2)・・・（p-n+1)(1+x)^(p-n)
(f(n)(x)はf(x)のn回微分）

pが正に整数の場合は
n=pでf(n)(x)=n!
で終了です。

お礼

回答ありがとうございます。補足のほうお願いします

補足

f(n)(x)=p(p-1)(p-2)・・・（p-n+1)(1+x)^(p-n)の部分なのですが
例えばn=3のとき
f''’(x)=(p-3+1)(1+x)^(p-3)となるということでしょうか？

p(p-1)(p-2)・・・（p-n+1)(1+x)^(p-n)
…の部分の考え方がよくわかってないです。

教えてください。お願いします。