極限の問題がわかりません

質問

lim(x→0) (cos x)^(1/x^2)
がよくわかりません。
1^∞で1という答えはなぜ間違いですか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

＊先ずは、「何故1^∞で1という答え（考え方）はなぜ間違いですか」という事に対しては、少なくとも
lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e
というのは知っての通りだから、その考え方ではだめというのは分かるでしょう。
要は、1^∞というのは所謂「不定形」

＊で、問題への回答としては、
A. ロピタルの定理を使わなければ（高校の知識でなんとかしようとすれば）、以下のようにする。
今、1-cos(x) = tとおけば、lim(x→0) t = 0である。当然だが、cos(x) = 1-t
そこで、(cos(x))^(1/(x^2)) = (1-t)^(1/(x^2))を
(1-t)^((1/t) * (t/(x^2))) = [ (1-t)^ (1/t)] ^ (t/x^2)と変形しておく。

ここで、u=-tとおくとlim(t→0) u = 0であって、
lim(t→0) (1-t)^(1/t) = lim(u→0) (1+u)^(-1/u) = 1/e

さらに、lim(x→0) (t/x^2) = lim(x→0) (1-cos(x)) / (x^2) = lim(x→0) (2(sin(x/2))^2) / (x^2) = 1/2であるから、
求める答えは (1/e)^(1/2) = 1/√e となる。

＊ロピタルの定理をつかってよければ、
lim(x→0) (cos x)^(1/x^2)
= lim(x→0) exp( (log(cos(x))) / (x^2) )
= lim(x→0) exp( [-sin(x) / cos(x)] / (2x) )
= lim(x→0) exp(-1/2) = 1/√e

お礼

回答ありがとうございます！
確かに、間違いであるとはわかりますが、ハッキリとイメージができません。。
対数のお勉強をもっとちゃんとしないといけないですかね、トホホ。。
ありがとうございました！！