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【数学】偏相関係数の式の導出過程を教えてください
偏相関係数の定義式の導出過程を教えてください。 rxy・z=(rxy-rxz*ryz)/(√1-r^2xz)*(√1-r^2yz) rxy=xとyの相関係数 ryz=yとzの相関係数 rxz=xとzの相関係数 rxy・z=zの影響を取り除いたxとyの偏相関係数
- kanade1127
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x,y,zの偏差平方和をそれぞれSxx,Syy,Szzとし、xとy,yとz,xとzの偏差積和をそれぞれSxy,Syz,Sxzとします。 Sxx = Σ(x-Σx/n)^2 Syy = Σ(y-Σy/n)^2 Szz = Σ(z-Σz/n)^2 Sxy = Σ(x-Σx/n)(y-Σy/n) Syz = Σ(y-Σy/n)(z-Σz/n) Sxz = Σ(x-Σx/n)(z-Σz/n) xのzへの回帰直線の傾きaと切片bはそれぞれ a = Sxz/Szz b = Σx/n-aΣz/n yのzへの回帰直線の傾きcと切片dはそれぞれ c = Syz/Szz d = Σy/n-cΣz/n です。 さて、zの影響を取り除いたxとyとは、これらの回帰直線の残差のことで、x-az-bとy-cz-dの相関係数がzの影響を取り除いたxとyの偏相関係数となります。 x-az-bの偏差平方和は Σ(x-az-b-Σ(x-az-b)/n)^2 = Σ((x-Σx/n)-a(z-Σz/n))^2 = Sxx-2aSxz+a^2・Szz = Sxx-Sxz^2/Szz y-cz-dの偏差平方和は Σ(y-cz-d-Σ(y-cz-d)/n)^2 = Σ((y-Σy/n)-c(z-Σz/n))^2 = Syy-2cSyz+c^2・Szz = Syy-Syz^2/Szz x-az-bとy-cz-dの偏差積和は Σ(x-az-b-Σ(x-az-b)/n)(y-cz-d-Σ(y-cz-d)/n) = Σ((x-Σx/n)-a(z-Σz/n))((y-Σy/n)-c(z-Σz/n)) = Sxy-cSxz-aSyz+acSzz = Sxy-Sxz・Syz/Szz であるので、偏相関係数は (Sxy-Sxz・Syz/Szz)/√{(Sxx-Sxz^2/Szz)(Syy-Syz^2/Szz)} = (Sxy/√(Sxx・Syy)-(Sxz/√(Sxx・Szz))・(Syz/√(Syy・Szz)))/√{(1-Sxz^2/(Sxx・Szz))(1-Syz^2/(Syy・Szz))} = (rxy-rxz・ryz)/√{(1-r^2xz)(1-r^2yz)} となります。
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お礼
ご回答、ありがとうございます。 懇切丁寧な解説で すんなりと理解することができました。 今回は本当にありがとうございました。