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数学の難問
yyssaaの回答
- yyssaa
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失礼しました。回答No.2を以下の通り訂正します。 (1)曲線Cの a≦y≦tの部分の長さl(t)をaとtを用いて表せ >曲線C上の微小長を△lとすると△l=√{(△x)^2+(△y)^2} dl/dy=√{1/(dy/dx)^2+1}、l(t)=∫[a→t]√{1/(dy/dx)^2+1}dy ここでdy/dx=a/2{(1/a)e^(x/a)-(1/a)e^(-x/a)} =(1/2){e^(x/a)-e^(-x/a)} (dy/dx)^2=(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)-2} =(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)}-1/2=y^2/a^2-1=(y^2-a^2)/a^2 1/(dy/dx)^2+1=y^2/(y^2-a^2)、√{1/(dy/dx)^2+1}=±y/√(y^2-a^2) だから、l(t)=∫[a→t]±y/√(y^2-a^2)dy 0<a≦y≦tでy/√(y^2-a^2)と-y/√(y^2-a^2)はy軸を対称軸としている ので、l(t)=2∫[a→t]y/√(y^2-a^2)dy、y^2-a^2=uで置換して l(t)=2∫[0→t^2-a^2](1/2)u^(-1/2)du=∫[0→t^2-a^2]u^(-1/2)du ={2u^(1/2)}[0→t^2-a^2]=2√(t^2-a^2)・・・答
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