難問です・・・解説お願いします

質問

[1]数列a_nは、漸化式（ｎ＋３）a_n+1ー（２ｎ＋４）a_n＋（ｎ＋１）a_n-1=0(n>=2)を満たしている。
（１）b_n=a_n+1ーa_nとおく。b_nをb_n-1(n>=2)で表せ。
（２）b_nをｎとb_1を用いて表せ。
（３）a_1=1/3,a_2=1/2であるとき、a_nを求めよ。
（４）（３）で求めたa_nに対して、lim(n→∞）（a_n)^nを求めよ。

[2]実数a,bに対して、直線Ｌ：y=ax+bは曲線Ｃ：y=log(x+1)と、ｘ座標が0<=x<=e-1を満たす点で接しているとする。
（１）このときの点(a,b)の存在範囲を求め、ab平面上に図示せよ。
（２）曲線Ｃおよび３つの直線Ｌ,x=0,x=e-1で囲まれた図形の面積を最小にするa,bの値と、このときの面積を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67

[1]b_nを経由しないで直接(3)を解きます．漸化式は

{(n+1)+2}a_{n+1}-(n+2)a_n=(n+2)a_n-{(n-1)+2}a_{n-1}(n≧2)

と変形できます．{(n+1)+2}a_{n+1}-(n+2)a_nの番号を減らしていけば

{(n+1)+2}a_{n+1}-(n+2)a_n=4a_2-3a_1=1(n≧1)

これは{(n+2)a_n}が初項3a_1=1，公差1の等差数列{n}であることを示します．

(n+2)a_n=n∴a_n=n/(n+2)（答）

(4)a_n^n={1/(1+2/n)^{n/2}}^2→(1/e)^2=1/e^2（答）

[2](1)接点を(t,log(t+1))(0≦t≦e-1)とすると接線は

y={1/(t+1)}(x-t)+log(t+1)

であるからy=ax+bと係数比較をして

a=1/(t+1)
b=log(t+1)-t/(1+t)=log(t+1)+1/(t+1)-1

tを消去すると

b=-loga+a-1(1/e≦a≦1)

となります．このグラフ上の点が(a,b)の存在範囲です．

(2)log(x+1)のグラフは上に凸なので，接線がグラフ以上のところにあります．したがって図形の面積Sは

S=∫_0^{e-1}{ax+b-log(x+1)}dx

=[ax^2/2+bx-(x+1)log(x+1)+(x+1)]_0^{e-1}

=a(e-1)^2/2+b(e-1)-1

dS/dt=(e-1){(1/2)(e-1)da/dt+db/dt)

=(e-1){-(1/2)(e-1)/(t+1)^2+1/(t+1)-1/(t+1)^2}

=(e-1){-(1/2)(e+1)/(t+1)^2+1/(t+1)}

={(e-1)/(t+1)^2}{-(1/2)(e+1)+t+1}

={(e-1)/(t+1)^2}{t-(e-1)/2}

0≦t≦e-1のとき

0≦t<(e-1)/2でdS/dt<0

(e-1)/2<t≦e-1でdS/dt>0

であるからt=(e-1)/2のときSは最小になりそのとき

a=1/(t+1)=2/(e+1)
b=-loga+a-1=log{(e+1)/2}+2/(e+1)-1=log(e+1)-log2-(e-1)/(e+1)

S=a(e-1)^2/2+b(e-1)-1=(e-1)^2/(e+1)+(e-1)log(e+1)-(e-1)log2-(e-1)^2/(e+1)-1
=(e-1)log(e+1)-(e-1)log2-1

回答No.1

MagicianKuma

[1]ヒント
(1)b[n]=a[n+1]-a[n],b[n-1]=a[n]-a[n-1]なので、与式をじっと眺めて、a[n+1]-a[n]の項とa[n]-a[n-1]の項に分解しましょう。与式の係数がn+1,-(2n+4),n+3ですのですぐに分かると思いますよ。
(2)b[2],b[2],b[3]・・・と数回式を書いてみれば、分子・分母に消しあう部分がでてきますよ。
(3)a[n+1]-a[n]=2/(n+2)-2/(n+3)が得られるはずです。ここからa[n]が求まります。
(4)lim(n→∞)(1+1/n)^n=e の応用問題となります。

以上　頑張ってみてください。